Четность и нечетность функций. Четность и нечетность функций


Нечётные и чётные функции | Математика

Файл:Function-x.svg Файл:Function x^2.svg

Нечётная фу́нкция — это функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

    • Функция $ f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ называется нечётной, если справедливо равенство
    $ f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in [-X,X]. $
    • Функция $ f $ называется чётной, если выполнено равенство
    $ f(-x) = f(x),\quad \forall x \in [-X,X]. $
    • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.
    • График нечётной функции симметричен относительно начала координат $ O $.
    • График чётной функции симметричен относительно оси ординат $ Oy $.
    • Произвольная функция $ f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
    $ f(x) = g(x) + h(x), $

    где

    $ g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}. $
    • Функция $ f(x) \equiv 0 $ — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
    • Сумма двух нечётных функций сама нечётна.
    • Сумма двух чётных функций сама чётна.
    • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
    • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
    • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
    • Композиция двух нечётных функция нечётна.
    • Композиция двух чётных функций чётна.
    • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
    • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).

    Нечётные функцииПравить

    • функции с нечетными степенями
    • .y=sin x, y=tg x, y=ctg x

    Чётные функцииПравить

    • Чётная степень $ f(x) = x^{2k},\quad x\in \mathbb{R} $ где $ k\in \mathbb{Z} $ — произвольное целое число.

    Вариации и обобщенияПравить

    cs:Sudé a liché funkcefa:توابع زوج و فردhe:פונקציות זוגיות ואי-זוגיות hu:Páros és páratlan függvényekpl:Funkcje parzyste i nieparzysteth:ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ uk:Непарна функція

    ru.math.wikia.com

    Четные и нечетные функции

    Четные функции

    Определение 1

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

    \[f\left(x\right)=f(-x)\]

    Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

    Рисунок 1.

    Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

    Нечетные функции

    Определение 2

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

    \[f\left(-x\right)=-f(x)\]

    Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

    Рисунок 2.

    Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

    Функция общего вида

    Определение 3

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

    Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $--x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

    Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

    Рисунок 3.

    Пример задачи

    Пример 1

    Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

    а) $f(x)=x^2+3$

    б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

    в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

    Решение.

    а) $f(x)=x^2+3$

    $f\left(-x\right)={(-x)}^2+3=x^2+3=f(x)$\textit{ }следовательно, $f(x)$ -- четная функция.

    Изобразим её на графике:

    Рисунок 4.

    б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

    $f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2+4}{-x}=-\frac{x^2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ -- нечетная функция.

    Изобразим её на графике:

    Рисунок 5.

    в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

    $f\left(-x\right)={\sin \left(-x\right)\ }+{\cos \left(-x\right)\ }=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ -- функция общего вида.

    Изобразим её на графике:

    Рисунок 6.

    spravochnick.ru

    Четность и нечетность функций

    Вопросы занятия:

    ·  повторить такое свойство функции, как чётность и нечётность.

    Материал урока

    Прежде давайте вспомним свойства функций, о которых мы уже говорили. Это: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции.

    Для того чтобы мы могли говорить о чётности, еще раз давайте повторим, что мы понимаем под областью определения функции.

    Определение.

    Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент.

    Теперь вспомним, что

    Теперь давайте разберёмся с этим определением по подробней. Первым условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно икс равного нулю. Что это значит? Это значит, что если число А принадлежит области определения, то и число минус А тоже принадлежит области определения этой функции.

    Выполним задание:

    Пример.

    Второе условие чётности говорит о том, что:

    Если посмотреть на график чётной функции, то можно увидеть, что он будет симметричен относительно оси ординат.

    Если же нарушается первое условие, то есть область определения функции – не симметричное относительно x = 0 множество, то такая функция не обладает свойством чётности.

    Теперь давайте вспомним какую функцию называют нечётной.

    Если мы посмотрим на график нечётной функции, то нетрудно увидеть, что он симметричен относительно начала координат.

    Мы с вами уже рассмотрели некоторые элементарные функции, их свойства и графики. А теперь давайте попробуем определить какие из этих функций являются чётными, нечётными, ни чётными, ни нечётными.

    Итак, начнём с прямой пропорциональности. Область определения прямой пропорциональности – вся числовая прямая, то есть говорить о чётности или нечётности, мы можем. Подставим вместо х -x и получим, что y(-x) = -y(x), то есть прямая пропорциональность – нечётная функция.

    Если мы посмотрим на графики прямой пропорциональности, то увидим, что эти графики симметричны относительно начала координат.

    Теперь давайте рассмотрим обратную пропорциональность.

    Область определения этой функции – симметричная относительно x = 0 область, то есть говорить о чётности или нечётности этой функции можно.

    Подставим вместо х -х и получим, что y(-x) = -y(x), то есть обратная пропорциональность – нечётная функция.

    Следующей мы рассмотрим линейную функцию.

    Область определения функции – вся числовая прямая, то есть область определения – симметричное множество. Подставим вместо х -х, тогда получим что:

    То есть линейная функция не является ни чётной, ни нечётной.

    Рассмотрим функцию y = │x│.

    Область определения этой функции – вся числовая прямая. То есть можно проверить эту функцию на чётность и нечётность. Подставим вместо х -х. По свойству модуля:

    Тогда получим, что функция игрек равно модуль икс – чётная функция.

    Теперь поговорим о функции у = х2.

    Область определения – вся числовая прямая.

    Подставим вместо х -х. По свойству квадрата выражения, получим, что:

    то есть функция чётная.

    Рассмотрим квадратичную функцию.

    Область определения – вся числовая прямая.

    Подставим вместо х -х и получим, что:

    то есть квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.

    Теперь давайте рассмотрим функцию:

    Область определения функции – промежуток [0; + ∞) – это не симметричное относительно точки x = 0 множество, то есть мы сразу можем написать, что о чётности или нечётности этой функции говорить нельзя.

    Теперь давайте рассмотрим функцию y = x3. Область определения – вся числовая прямая. Подставим вместо x -x и получим, что:

    то есть перед нами нечётная функция.

    Теперь давайте решим несколько заданий.

    Пример.

    Рассмотрим ещё один пример.

    Пример.

    Пример.

    Итоги урока

    Сегодня на уроке мы повторили такое свойство функций как чётность. Вспомнили какая функция называется чётной, а какая – нечётной.

    videouroki.net

    Четность и нечетность функций

     

    Функция называется четной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство:

    .

    График четной функции симметричен относительно оси Оy.

    Примеры четных функций:

    ,

    ,

    .

     

     

    Функция называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется:

    .

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0;0).

    Примеры нечетных функций

    ,

    ,

    .

     

     

    При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика для , а левую достроить симметрично оси ординат для четной функции или симметрично начала координат для нечетной.

    Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

     

    Периодичность функций

     

    Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого значения х из области определения выполняется равенство

     

    ,

     

    число Т называется периодом функции.

    Примеры периодических функций: , , , .

    Заметим, что периодическую функцию достаточно исследовать в пределах одного периода, т.е. при .

     

    Простейшие преобразования графиков

     

    Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции

    Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как

    ,

    а также более общего вида

    ,

    где - некоторые константы.

     

    1) График функции получается растяжением или сжатием в m раз исходного графика вдоль оси Оy.

    Если же , то, построив сначала график функции , затем строим симметричный с ним относительно оси Ох искомый график функции .

    2) График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графика вдоль оси Оy вверх или вниз на n единиц.

     

    3) График функции получается из графика сжатием или растяжением его в а раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).

     

    4) График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.

     

     

    Построение графиков подобного рода в общем случае

    сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.

     

    АЗ-1

    1. . Вычислить: , , ,

     

    2. . Вычислить: , , ,

     

    3. Найти область определения функций:

     

    4. Исследовать функции на четность или нечетность

     

    5. Найти наименьший период функций:

    а) ; б)

    6. Построить графики функций:

     

    ИДЗ-1

     

    Задание 1. Найти области определения и значения функций

    Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

     

     

    Задание 3. Найти наименьший период функции

     

     

    Задание 4. Методом деформации и сдвигов построить график функции

     

     

    Решение типового варианта

     

    Задание 1. Найти области определения и значений функции .

    Решение. Логарифмическая функция определена, если , , что возможно при .

    Область D определения функции

    Так как в D , то интервал - область значений функции Е.

     

    Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

    а) .

    Решение. Подставим в функцию вместо х значение –х:

    Так как выполняется равенство , то данная функция является четной.

    б) .

    Решение.

    Так как выполняется равенство , то данная функция является нечетной.

    в) Исследовать функцию на четность и нечетность .

    Решение. , т.е. данная функция ни четная, ни нечетная, это функция общего вида.

     

    Задание 3. Найти наименьший период функции .

    Решение. Период для функций и равен . Функция имеет период в 3 раза меньше, т.е. , . Наименьший период суммы должен быть таким, чтобы и помещались в нем целое число раз. В данном случае .

     

    Задание 4. Построить график функции

    а) .

    Решение.

    1) Строим график ;

    2) сжимаем его вдоль оси в 2 раза, получаем график ;

    3) сдвигаем график влево на и получаем график ;

    4) растягиваем график вдоль оси в 2 раза и получаем требуемый график.

     

    б) Построить график функции .

    Решение.

    1) строим график ;

    2) сдвигаем его влево по оси на 1, получаем график функции ;

    3) сжимаем график вдоль оси в 2 раза и строим симметричный ему относительно оси , получаем график ;

    4) поднимаем график функции по оси Оy вверх на две единицы, получаем искомый график.

     

     

    studopedya.ru

    Нечётные и чётные функции - это... Что такое Нечётные и чётные функции?

    Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

     — пример нечётной функции.  — пример чётной функции. ни чётная, ни нечётная.

    Другие определения:

    • Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
    • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
    • Индифферентная функция[источник не указан 240 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

    Определения

    Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

    • Функция называется чётной, если справедливо равенство
    • Функция называется нечётной, если справедливо равенство

    (или функцией общего вида).

    Свойства

    • График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
    • График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
    • Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

    где

    • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
    • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
    • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
    • Произведение двух функций одной чётности чётно.
    • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
    • Композиция двух нечётных функций нечётна.
    • Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
    • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
    • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
      • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
    • Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

    Примеры

    Нечётные функции

    Чётные функции

    Вариации и обобщения

    dic.academic.ru

    Внеклассный урок - Четные и нечетные функции. Периодические функции

    Четные и нечетные функции. Периодические функции

     

    Четная функция.

    Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.

    Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.

    График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

    Примеры четной функции:

    y = cos x

    y = x2

    y = –x2

    y = x4

    y = x6

    y = x2 + x

    Пояснение:Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

     

    Нечетная функция.

    Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.

    Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

    Примеры нечетной функции:

    y = sin x

    y = x3

    y = –x3

     

    Пояснение:

    Возьмем функцию y = –x3. Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x).График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

     

    Свойства четной и нечетной функций:

    1) Сумма четных функций является четной функцией.    Сумма нечетных функций является нечетной функцией.

    2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна.    Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.

    3) Произведение двух четных функций является четной функцией.    Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.

    4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

    5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.

     

    ПРИМЕЧАНИЕ:

    Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

     

    Периодические функции.

    Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

    raal100.narod.ru

    Четность и нечетность функции - это... Что такое Четность и нечетность функции?

     Четность и нечетность функции

    Четность и нечетность функции  [odd and even  function]; четной функция называется тогда, когда   для любых двух различных значений ее аргумента    f ( -x) =f(x) , например,  y= |x|;    нечетной — такая  функция , когда f(-x) = — f(x), например, y= x2n+1,  где   n — любое натуральное число. Функции которые не являются ни четными, ни нечетными, обычно называются аморфными.  График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.

    Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

    • Четвертый рынок
    • Численные методы оптимизации

    Смотреть что такое "Четность и нечетность функции" в других словарях:

    • четность и нечетность функции — Четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f ( x) =f(x) , например, y= |x|; нечетной такая функция , когда f( x) = f(x), например, y= x2n+1, где  n любое натуральное число. Функции которые не являются ни …   Справочник технического переводчика

    • Ч — Чартер (Charter party) Частичный денежный поток (partial cash flow) Частичные или фрагментарные права на собственность (partial or fractional interest) …   Экономико-математический словарь

    • Функция — [function] 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… …   Экономико-математический словарь

    • функция — Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… …   Справочник технического переводчика

    • СПЕКТРОСКОПИЯ — раздел физики, посвященный изучению спектров электромагнитного излучения. Здесь мы рассмотрим оптическую спектроскопию часто называют просто спектроскопией. Свет это электромагнитное излучение с длиной волны l от 10 3 до 10 8 м. Этот диапазон… …   Энциклопедия Кольера

    • Суперкомпиляция — Суперкомпиляция  специальная техника оптимизации алгоритмов, основанная на знании конкретных входных данных алгоритма. Суперкомпилятор принимает исходный код алгоритма плюс некоторые данные о входных параметрах и возвращает новый исходный… …   Википедия

    • протокол Modbus RTU — [Интент] 3.5.1. Протокол MODBUS Протокол Modbus был предложен в 1979 году компанией Modicon. Он должен был служить протоколом реализации внутренних коммуникаций «точка точка» между ПЛК Modicon и панелью программирования,… …   Справочник технического переводчика

    economic_mathematics.academic.ru