Учебно-методическое пособие «Техника выполнения геометрических построений» для выполнения графических работ. Деление отрезка на 2 равные части


2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЧЕРЧЕНИЕ

Знание основных геометрических построений дает возможность правильно и быстро чертить, выбирая для каждого случая наиболее рациональные приемы.

2.1. Деление отрезка на равные части

Разделить отрезок пополам можно при помощи циркуля, построив срединный перпендикуляр (рис. 18, а). Для этого берём радиус размером более половины длины отрезка и из его концов по обе стороны проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения. Через точки пересечения дуг проводим срединный перпендикуляр.

Рис. 18

Для деления на любое число равных частей используем теорему Фа-

леса: если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки(рис. 18, б). Под про-

извольным углом к отрезку АВ проводим вспомогательный лучАС, на котором откладываем отрезок произвольной длины столько раз, на сколько частей нужно разделить данный отрезок. Конец последнего отрезка соединяем с точкойВичерезконцыостальныхотрезковпроводимпрямые, параллельныеВС.

2.2. Деление окружности на произвольное число равных частей

Умение делить окружность на равные части необходимо для построения правильных многоугольников. Рассмотрим сначала частные приёмы деления окружности.

Деление на три части (рис. 19)

Ставим ножку циркуля в один из концов взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки на ней по обе стороны от этого конца диаметра. Получаем две вершины правильного треугольника. Третьей вершиной является противоположный конец диаметра.

Деление на четыре части (рис. 20)

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Если через центр окружности провести прямые под углом 45ᵒ к осям, то они также разделят окружность на четыре равные части. Стороны вписанного квадрата будут параллельны осям окружности. Вместе эти два квадрата разделили окружность на восемь равных частей.

Деление на пять частей (рис. 21)

●Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1). Раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку на окружности. Получаем точку2.

●Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3.

●Ставим ножку циркуля в точку 3. Берём радиус, равный расстоянию от точки3 до конца вертикального диаметра (точка4), и проводим дугу до пересечения с горизонтальным диаметром. Получаем точку5.

●Соединяем точки 4 и5. Хорда4–5 будет составлять 1/5 часть окружности.

●Замеряем циркулем длину хорды 4–5 и начинаем откладывать её от одного из концов диаметра (в зависимости от того, как должен быть ориентирован пятиугольник относительно осей). Тот диаметр, от конца которого начинаем откладывать отрезок, будет являться осью симметрии фигуры.

Отрезки рекомендуется откладывать сразу с двух сторон. Оставшийся отрезок должен оказаться перпендикулярным оси симметрии. Если его длина не будет равна длине остальных отрезков, то, значит, неточно выполнено построение или неточно замерена хорда 4–5.Следует внести корректировку длины отрезка и повторить деление окружности ещё раз.

Деление на шесть частей (рис. 22)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из обоих концов одного и того же диаметра в обе стороны от них. Получаем четыре вершины правильного шестиугольника. Двумя другими вершинами являются концы диаметра, из которых сделаны засечки.

Деление на семь частей (рис. 23)

●Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1). Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем на ней засечку. Получаем точку2.

●Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3. Отрезок2–3 составляет 1/7 часть окружности.

●Замеряемциркулемдлинуотрезка2–3 ипоследовательнооткладываем его от любого конца диаметра сразу с двух сторон. Последний отрезок должен быть перпендикулярен диаметру, от конца которого начали откладывать отрезки. Этотдиаметрбудетосьюсимметриивписанногосемиугольника.

Деление на десять частей (рис. 24)

●Делим окружность на 5 частей, как показано на рис. 21. Получаем правильный пятиугольник.

●Из каждой вершины пятиугольника опускаем перпендикуляры на противолежащие стороны. Все они пройдут через центр окружности и разделят сторону и стягивающую её дугу пополам. Получим ещё 5 вершин.

Деление на двенадцать частей (рис. 25)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из концов обоих диаметров по обе стороны от них.

Деление на четырнадцать частей (рис. 26)

●Делим окружность на 7 частей, как показано на рис. 23. Получаем правильный семиугольник.

●Через каждую вершину семиугольника и центр окружности проводим диаметры. Они разделят противолежащие стороны и стягивающие их дуги пополам. Получим ещё 7 вершин.

Существует и общий приём деления окружности на любое число частей. Рассмотрим его на примере построения правильного девятиугольника (рис. 27).

● Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (горизонтальный и вертикальный).

●Тот диаметр, который хотим сделать осью симметрии фигуры, делим на столько частей, на сколько требуется разделить окружность. На рис. 27 диаметр АВ разделён на 9 частей. Полученные точки деления нумеруем.

●Ставим ножку циркуля в точку А и радиусом, равным диаметру окружности, проводим дугу до пересечения с продолжением вертикального диаметра. Получаем точкуС.

●Точку С соединяем через одну с точками деления диаметра и продолжаем до пересечения с противолежащей дугой окружности в точках I, II, III, IV. Если одной из вершин девятиугольника должна быть точкаА, то лучи проводим через все чётные деления диаметра (рис. 27,а). Если же одной из вершин должна стать точкаВ, то лучи следует проводить через все нечётные деления диаметра (рис. 27,б).

Рис. 27

● Симметрично отображаем построенные точки относительно горизонтального диаметра. Получаем остальные вершины фигуры.

2.2.1. Задание № 4. Деление окружности

Цель: изучить приёмы деления окружности на равные части.

На формате А3 в первом ряду вычертить правильные многоугольники (трех-,четырех-,пяти-,шести-,семи- и девятиугольник), вписанные в окружности диаметром 60 мм. Окружности как вспомогательные линии должны быть тонкими. Многоугольники обвести толстыми линиями.

studfiles.net

Учебно-методическое пособие «Техника выполнения геометрических построений» для выполнения графических работ — Информио

Контуры всех изображений образованы различными линиями. Основными линиями служат прямая, окружность и ряд кривых. При вычерчивании контуров изображений применяют геометрические построения и сопряжения.

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений.

В этом отношении лучшим способом  приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.

1.1. Деление отрезка пополам

 

Разделить заданный отрезок АВ пополам.

Из концов отрезка АВ, как из центров, проведем дуги окружностей радиусом R, размер которого должен быть несколько больше, чем половина отрезка АВ (Рис. 1). Эти дуги пересекутся в точках M и N, найдем точку С, в которой пересекаются прямые АВ и MN. Точка С разделит отрезок АВ на две равные части.

Примечание. Все необходимые построения должны и могут выполняться только с помощью циркуля и линейки (без делений).

 

                               

                                Рис. 1

1.2. Деление отрезка на n равных частей

Разделить заданный отрезок на n равных частей.

Из конца отрезка – точки А  проведем вспомогательный луч под произвольным углом α.(рис.2 а)  На этом луче отложим 4 равных отрезка произвольной длины  (рис.2б). Конец последнего, четвертого, отрезка (точку 4) соединим с точкой В. Далее из всех предыдущих точек 1…3 проведем отрезки, параллельные отрезку В4 до пересечения с отрезком АВ в точках1', 2', 3'. Полученные таким образом точки разделили отрезок на равные четыре отрезка

 

1.3. Деление угла пополам

Разделить заданный угол ВАС пополам.

Из вершины угла А произвольным радиусом проводим дугу до пересечения со сторонами угла в точках В и С (рис.3 а). Затем из точек В и С проводим две дуги радиусом, большим половины расстояния ВС, до их пересечения в точке D (рис.3 б). Соединив точки А и D прямой, получаем биссектрису угла, которая делит заданный угол пополам (рис.3 в)

                   а)                                            б)                                              с)  

рис.3

 

2.1. Деление окружности на три равные части

Из конца диаметра, например, точки А (рис.4) проводят дугу радиусом R, равным радиусу заданной окружности. Получают первое и второе деление – точки 1 и 2. Третье деление точка 3, находится на противоположном конце того же диаметра. Соединив точки 1,2,3 хордами, получают правильный вписанный треугольник.

 

Рис. 4

Рис. 5

                    

2.2. Деление окружности на шесть равных частей

Из концов какого-либо диаметра, например АВ (рис.5), описывают дуги радиусом R окружности. Точки А, 1,3,В,4,2 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их хордами, получают правильный вписанный шестиугольник.

Примечание. Вспомогательные дуги проводить полностью не следует, достаточно сделать засечки на окружности.

                              

2.3. Деление окружности на пять равных частей

  1. Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.6). Радиус ОС в точке О1делят пополам.
  2. Из точки О1, как из центра, проводят дугу радиусом О1А до пересечения ее с диаметром CD в точке Е.
  3. Отрезок АЕ  равен стороне правильного вписанного пятиугольника, а отрезок ОЕ – стороне правильного вписанного десятиугольника.
  4. Приняв точку А за центр, дугой радиуса R1 = АЕ на окружности отмечают точки 1 и 4. Из точек 1 и 4, как из центров, дугами того же радиуса R1  отмечают точки 3 и 2. Точки А, 1, 2, 3, 4 делятокружность на пять равных частей.

                           

 Рис. 6

2.4. Деление окружности на семь равных частей

Из конца диаметра, например, точки А проводят дугу радиуса R, равного радиусу окружности (рис.7). Хорда CD равна стороне правильного вписанного треугольника. Половина хорды CD с достаточным приближением равняется стороне правильного  вписанного семиугольника, т.е. делит окружность на семь равных частей.

R1 = CD/2

  Рис. 7
  1. Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. - М.: Машиностроение, 2006. – с.392:  ил.
  2. Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
  3. Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.

www.informio.ru

Деление отрезка на n равных частей.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Для треугольника

Для квадрата

Равносторонний (правильный) треугольник:

Правильный шестиугольник:

БИЛЕТ 2

1) Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Признак

по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство: ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны попервому признаку равенства треугольников.

Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

 

 

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2. ΔABB2=ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников: AB = CD согласно условию теоремы,как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1

 

БИЛЕТ 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

Теорема о хордах окружности. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

как вертикальные;

, как опирающиеся на одну дугу,

тогда по II признаку

 

 

Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого треугольника

Доказательство. Выберем точку внутри многоугольника. Соединим её с каждой вершиной многоугольника. Получим 7 треугольников.

Сумма углов многоугольника будет равна сумме всех углов треугольников, кроме прилежащих к внутренней точке (360°).

 

 

БИЛЕТ 4

БИЛЕТ 5

БИЛЕТ 6

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов n-угольника

Определение. Внешним углом называется угол, смежный

с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть АВС – данный треугольник. По теореме о сумме углов треугольников ∠A+∠В+∠C=180°, значит, ∠А + ∠В = 180°-∠С, а 180°-∠С не что иное, как градусная мера внешнего угла при вершине С.

Теорема доказана.

Теорема. Сумма внешних углов n-угольника (взятых по одному при каждой вершине) равна 360°.

Доказательство. Из теоремы о сумме углов выпуклого n-угольника следует:

Теорема доказана.

2) Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 45°.

Возьмём прямоугольный треугольник с В нём, как в прямоугольном треугольике, . , значит, треугольник равнобедренный, .

БИЛЕТ 7

БИЛЕТ 8

1)Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC. как накрест лежащие. . Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

БИЛЕТ 9

Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°. Поэтому длина l выражается формулой:

 

 

 

БИЛЕТ 10

1) Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

4.

В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Доказательство.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Теорема доказана.

БИЛЕТ 11

 

БИЛЕТ 12

БИЛЕТ 13

БИЛЕТ 14

Для треугольника

Для квадрата

Равносторонний (правильный) треугольник:

Правильный шестиугольник:

БИЛЕТ 2

1) Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Признак

по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство: ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны попервому признаку равенства треугольников.

Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

 

 

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2. ΔABB2=ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников: AB = CD согласно условию теоремы,как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1

 

БИЛЕТ 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

Теорема о хордах окружности. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

как вертикальные;

, как опирающиеся на одну дугу,

тогда по II признаку

 

 

Читайте также:

lektsia.com

Как разделить отрезок на равные части?

Как разделить отрезок на равные части с помощью карандаша, циркуля и линейки без делений? Эта задача на построение решается с помощью теоремы Фалеса.

Например, рассмотрим, как разделить данный отрезок на 4 равные части.

delenie otrezka na ravnyie chasti     Дано:  AB — отрезок.

Разделить AB на 4 равные части.

Решение:

1) Проведем произвольный луч AK.

2) На луче AK отложим циркулем отрезки AA1=A1A2=A2A3=A3A4.

razdelit otrezok na ravnyie chasti(Для этого ставим ножку циркуля в точку A и строим окружность некоторого радиуса с центром в точке A. Вся окружность нам не нужна — она будет загромождать рисунок — от окружности мы берем только маленький штрих на луче AK — насечку. Полученную  точку обозначаем A1. Теперь, не меняя раствора циркуля, ставим ножку циркуля в точку A1 и строим такую же окружность. Отмеченную насечку обозначаем как точку A2. Следующая окружность — с центром в точке A2 и таким же радиусом — на пересечении с лучом AK дает точку A3. Аналогично получаем точку A4. Построенные таким образом отрезки равны, так как мы не изменяли раствор циркуля, а значит, и радиус окружности).

kak razdelit otrezok na ravnyie chasti

 

 

3) Проведем отрезок BA4.

4) Через точки A3, A2 и A1 проведем отрезки, параллельные отрезку BA4:

    \[{A_3}{B_3}\parallel {A_2}{B_2}\parallel {A_1}{B_1}\parallel {A_4}B\]

5) По теореме Фалеса

    \[A{B_1} = {B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}B.\]

Четырехугольники

www.treugolniki.ru

Деление отрезка на 2, 4, 8, ... равных частей с помощью циркуля и линейки

170. 1) Проверьте, используя циркуль, являются ли отмеченные на отрезках точки их серединами.

Да; нет.

2) Постарайтесь на глаз определить середину каждого отрезка. Отметьте ее точкой. Проверьте себя с помощью циркуля.

171. Проведите две окружности с центрами в точках А и В и радиусом 2 см. Отметьте цветным карандашом точки пересечения окружностей. Проведите прямую через эти точки. Отметьте другим цветом точку пересечения этой прямой с отрезком АВ. Проверьте с помощью циркуля, является ли эта точка серединой отрезка АВ.

172. Разделите отрезок с помощью циркуля и линейки:

1) на 2 равные части.

2) на 4 равные части.

3) на 8 равных частей.

ВСПОМИНАЕМ ПРОЙДЕННОЕ

173. Выполните действия.

174. Вера, Дима и Юра - дети из одной семьи. Стрелка на рисунке означает отношение "быть братом". Проведите недостающе стрелки и прочитайте все высказывания.

175. Изобразите стрелками отношение "быть сестрой", если в семье трое детей: Катя, Миша и Даша.

176. Сравните величины.

177. Начертите прямую так, чтобы она пересекла ломаную:

1) в двух точках; 2) в четырех точках.

178. Вычислите значение выражения.

179. Точки А и В - концы ломанной. Изобразите ломанную, состоящую из восьми звеньев.

matem-gdz.ru

Урок математики УМК "Школа XXI века" по теме "Деление отрезка на 2 равные части"

Разделы: Начальная школа

Цели:

  • с.у. для формирования у учащихся умения делить отрезок на две равные части при помощи циркуля и линейки;
  • с.у. для развития мышления, а именно таких функций: умозаключения за счёт доказательных ответов, обобщения, сравнения;
  • с.у. для воспитания культуры ученического труда и коммуникативных качеств личности.

Оборудование: Сигнальные карточки, шнурок каждому ученику, карточки с заданиями, алгоритм на отдельных карточках, циркули, линейки, ножницы.

Ход урока

1) Орг. момент.

Эркюль Пуаро, знаменитый сыщик, заставлял работать свои серые клеточки, чтобы раскрыть загадочные преступления. Мы тоже заставим свои серые клеточки основательно поработать, чтобы достичь цели, которые поставим на уроке. Для разминки посчитаем устно.

2) Устный счёт.

* игра "Верно - неверно"

4824:2=2412, 4824:4=126, 4824:6=804, 4824:12=42, 4824:24=21

Верно - зелёный Неверно - красный

(Ученики сигнальными карточками показывают свой ответ)

Логическая задача

После того как три человека съели по одинаковому куску торта прямоугольной формы, длина и ширина торта уменьшилась в 2 раза. На сколько человек хватит оставшегося торта, если все будут есть такие же кусочки, как и первые 3 человека.

3) Целеполагание и мотивация.

- На столе у каждого лежит шнурок. Положите перед собой. На какую геометрическую фигуру он похож?

- Какой геометрической фигуре будет посвящён этот урок?

- Сложите шнурок пополам. Возьмите ножницы и разрежьте по линии сгиба. Что с ним сделали?

- Кто попробует сформулировать тему и цель урока.

- Правильно. Сегодня будем учиться делить отрезок на равные части.

4) Актуализация знаний и умений.

Работа в рабочей тетради-2 на печатной основе.

- Открыли тетради на странице 47.Выполним самостоятельно №133.

1 вариант - справа 2 вариант - слева

- Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу соседа.

- Почему вы решили, что точка является серединой отрезка?

- Не является серединой отрезка?

- Можно ли на глаз точно определить середину отрезка?

- Правильно, а при помощи линейки и циркуля с этой задачей легко справиться.

- Сейчас вы сами это увидите.

5) Первичное усвоение материала.

Работа в рабочей тетради-2 на печатной основе.

- Работам в парах. Выполняем № 134.

- Является ли данная точка серединой отрезка? Докажите.

6) Первичная проверка понимания.

- Составим алгоритм деления отрезка на две равные части.

(алгоритм на отдельных карточках появляется на доске)

  1. проведи две окружности;
  2. отметь точки пересечения окружностей;
  3. соедини эти точки прямой;
  4. отметь середину отрезка;
  5. проверь.

7) Закрепление знаний и способов действий.

Работа в группах.

- Найдите середину отрезка СВ, используя алгоритм деления отрезка на 2 равные части.

- Давайте расскажем, что у вас получилось.

- Почему в двух случаях отрезок СВ не разделился пополам?

- Чем нужно дополнить алгоритм "деления отрезка на 2 равные части"?

(одинакового радиуса и большего половины данного отрезка)

8) Подведение итогов. Домашнее задание.

- Что нового узнали на уроке?

- Д/З №135(1) или №135(2) на выбор.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Деление отрезков на равные части. Построение углов

1. Предположим, что заданный отрезок АВ необходимо разделить на две равные части. Для этого определяют на глаз середину отрезка и отмечают ее точкой О. Проверку точности деления осуществляют с помощью карандаша. Делается это следующим образом: конец карандаша прикладывают к точке О, а точку В отмечают на карандаше ногтем большого пальца и сравнивают полученные величины отрезков АО и ОВ. Если точка О получилась не в середине, то ее перемещают влево или вправо, пока обе части не получатся равными (Рисунок 8.11).

Рисунок 8.11 — Деление отрезка на 2 части

2. При делении на 3 части, выбираем средний отрезок равный крайнему (Рисунок 8.12).

3. Деление отрезка на четыре равные части.

4. При делении на 5 частей, сначала делят отрезок на 3 части так, чтобы средний равнялся половине крайних, которые затем делят пополам.

5. При делении на 7 частей, выбирают величину среднего отрезка такой, чтобы он укладывался три раза в крайней части отрезка.

6. Для построения прямой, расположенной под углом 30° к горизонтали, надо по горизонтали отложить 5 условных единиц (клеток или сантиметров), а по вертикали — 3.

7. Для построения прямой, расположенной под углом 7° к горизонтали, надо по горизонтали отложить 8 условных единиц, а по вертикали — 1.

8. Для построения прямой, расположенной под углом 41° к горизонтали, надо по горизонтали отложить 8 условных единиц, а по вертикали — 7.

9. Для построения прямой, расположенной под углом 45° к горизонтали, надо отложить отрезки равной длинны по горизонтали и по вертикали.

Рисунок 8.12 — Деление отрезка на разное количество частей. Проведение линии под заданным углом

При недостаточном опыте рисования или эскизирования возникают затруднения при откладывании одинаковых отрезков. В таких случаях помогает использование так называемой «бумажной линейки». На небольшом кусочке бумажки намечают нужную длину отрезка и откладывают его необходимое число раз в каких-либо направлениях. Часто прибегать к этому методу не рекомендуется, так как это задерживает развитие глазомера.

Похожие статьи:

poznayka.org