Как решать дроби. Решение дробей. Дроби для чайников


Дроби

Дроби это тема, об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

целая пицца разделена на 4 части

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

1 на 4 в виде рисунка шаг 1

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

1 на 4 в виде рисунка шаг 2

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

1 на 4 в виде рисунка

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

1 на 2 в виде рисунка

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

пицца разделенная на три части рисунок

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

1 на 3 в виде рисунка

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

2 на 3 в виде рисунка

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части или, как говорят в народе: «Пополам»:

пицца разделенная пополам

Допустим из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными. Почему обыкновенными? Потому что дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Десятичные будем рассматривать немного позже. Обыкновенная дробь эта та дробь, которая состоит из числителя и знаменателя.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. Если говорить о дробях, то у первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

знаменатели для различных дробей

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли одна вторая (одну часть из двух) или, как говорят в народе: «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

drobгде a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

12131491

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём одна четвёртая (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

nepravilnayaВидно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это «чего-либо» разделено. А числитель показывает сколько этого «чего-либо» взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь 92 и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

nepravilnaya2

Вообще, такие дроби даже не имеют права называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь 22. Применим её к нашей пицце.

Допустим мы хотим съесть22пиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим эту22пиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.

Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь 42. Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

4222

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

drobi2

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».

Выделение целой части дроби

Вычислим дробь 52 . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

apple1

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби 52 и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

52212

Схематически это выглядит так:

apple2

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби пять вторых и получили новую дробь две целых одна вторая.  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это одна вторая

212poyasnenie

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

vcxh

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби 52. Записываем уголком данное выражение и решаем:

5221

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Главное понять, что куда отнести. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 576

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

5769936

Получили: 5769362

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь 15101. Если выделить в ней целую часть, то получается 15102

15103

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменения.

Например, переведём смешанное число 15102 в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменения:

15104

Подробное решение выглядит так:

15106

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:

15105

Пример 2. Перевести смешанное число 15111 в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменения:15112

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Что это значит? Это значит, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь одна вторая.  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2:

111224

Получили новую дробь две четвертых.  Если верить основному свойству дроби, то дроби одна вторая  и две четвертых равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

половина и две четверти рисунок

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь одна вторая(один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь две четвертых (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями одна вторая и две четвертых можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

1112243

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь  114824. Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

1148242

Получили новую дробь две четвертых. Если верить основному свойству дроби, то дроби 114824 и две четвертых равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

четыре восьмых и две четвертых рисунок

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь 114824(четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь две четвертых (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями 114824 и две четвертых можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

1148243

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!

Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь одна вторая выглядит намного проще и красивее, чем дробь 112040 .

Если при решении примеров получается большая некрасивая дробь, то нужно пытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1.  Сократим дробь 1112242. Надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае, дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД { 2 и 4 } это 2. Значит числитель и знаменатель дроби 1112242 надо разделить на двойку. Итак, делим числитель и знаменатель на 2:

132412

Пример 2. Сократим дробь 112040. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40. НОД { 20 и 40 } это 20. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 20:

13204012

Пример 3. Сократим дробь Тридцать два тридцать шестых. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36. НОД { 32 и 36 } это 4. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 4:

13323689

Если в числителе и знаменателе стоят простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

1312343557

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.

Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть данного способа заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби Тридцать два тридцать шестых. Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

13323689

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция Тридцать два тридцать шестых сокращение на четыре , и сразу записан ответ Восемь девятых . Получится следующее выражение:

Тридцать два тридцать шестых равно восемь девятых

Суть в том, что число на которое разделили числитель и знаменатель хранят в уме. В нашем случае, числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записывают рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Тридцать два тридцать шестых разделили числитель

Затем, точно так же делят знаменатель на число 4. Полученный ответ записывают рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Тридцать два тридцать шестых разделили знаменатель

Затем собирают новую дробь. В числитель отправляют новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляют новое число 9 вместо 36

Сокращение тридцати двух на тридцать шестых на четыре вторым способом

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь Девять двадцать седьмых предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби Девять двадцать седьмых на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение: Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель1

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель2

Дальше сокращать больше нечего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, которого можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель3

 Получили ответ одна третья. Значит при сокращении дроби Девять двадцать седьмых получается новая дробь одна третья.

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если вы только начинаете изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решен старым способом и будет выглядеть так:

Девять двадцать седьмых сокращение старым методом

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель3

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 30. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Как научиться решать дроби? - Полезная информация для всех

  • Сама столкнулась с тем, что дроби оказались достаточно сложной темой для моих детей.

    Есть очень хорошая игра quot;Дроби Никитинаquot;, она предназначена для дошкольников, но и в школе отлично поможет ребенку разобраться , что же все-таки это такое - дроби, их соотношение друг к другу..., причем все в доступной, наглядной и увлекательной форме.

    Представляет она из себя двенадцать разноцветных кругов. Один круг - целый, а все остальные поделены на равные части - две, три.... ( до двенадцати).

    Ребнку предлагается выполнить несложные игровые задания, например:

    Как называютсячасти кружков? или

    Какая часть больше? ( наложить меньшую на большую.)

    Моим эта методика помогла. Вообще очень жалею , что все эти quot; Никитинские развивашкиquot; не попались на глаза, когда дети были еще малышами.

    Игру можно сделать самостоятельно или купить готовую, а узнать обо всем подробней - здесь.

  • Решение дробей можно объяснить и на кубиках Lego. Он развивает не только воображение, но и творческое и логическое мышление, а значит, его можно использовать и как учебное пособие.

    Алишия Зиммерман придумала использовать кубики известного конструктора для обучения детей основам математики.

    И вот как на основе конструктора Lego можно объяснить дроби.

  • Практика показывает, что больше всего трудностей возникает при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями и при делении дробей.

    Трудности возникают из-за кривых указаний в учебнике, как, например, разделить дробь на дробь.

    quot;Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой дробиquot;.

    Может ли ребенок в 4 классе это понять и не запутаться? НЕТ!

    А нам учительница объяснила элементарно: нужно вторую дробь перевернуть, а потом умножить!

    Тоже самое со сложением.

    quot;Чтобы сложить две дроби, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби, полученные числа сложить и записать в числитель. А в знаменатель нужно записать произведение знаменателей дробей. После этого полученную дробь можно (или нужно) сократитьquot;.

    А проще так: quot;Приведите дроби к общему знаменателю, который равен НОК знаменателей, а потом сложите числителиquot;.

  • Показать им на наглядном примере. Например, яблоко разрежьте на 4 части, на 8, на 12 сложите в целое, сложите несколько частей, отнимите. При этом на бумаге объясняйте с использованием правил. Правила сложения, вычитания. деления дробей, а так же как из неправильной дроби выделить целое - вс это учите в ходе манипуляций с яблоком. Не торопите детей, пусть внимательно с вашей помощью разберутся с дольками.

  • Научить решать дроби, в частности детей, это дело вполне обычно и не создаст много хлопот. Самое просто что можно сделать, это взять что-то целое, например мандарин, или любой другой плод, разделить его не части, и на примере показывать вычитания, сложение и другие операции с кусочками этого плода, что и будет дробями от целого. Все нужно объяснять и показывать, и завершающим фактором будет на математических примерах объяснять и решать задания совместно, пока ребенок сам не научиться делать эти задания.

    На рисунке наглядно видно что чему соответствует и как смотрится дробь на реальном предмете, именно так и нужно объяснять.

  • Вам к этому вопросу, нужно подойти основательно, так как решение дробей в жизни пригодится. Нужно в этом вопросе, как говорится, с детьми быть на равных, и объяснять теорию на им доступном языке, например на языке quot;тортаquot; или мандарина. Нужно делить торт на до и раздавать друзьям, после чего ребенок начнет вникать в суть решения дробей. Не начинайте с тяжелых дробей, начните с понятий 1/2, 1/3, 1/10. Сначала отнимайте и прибавляйте, а потом переходите на более сложные понятия как умножение и деление.

  • Проблемы с дробями бывают разные. Один ребнок не может понять, что одна вторая и пять десятых - это одно и то же, у других вызывает недоумение приведение различных дробей к одному знаменателю, у третьих - деление дробей. Поэтому и одного правила на все случаи жизни нет.

    Главное в задачах на дроби - не упустить момент, когда понятное перестат таковым быть. Возвращаться к quot;печкеquot; и повторять вс сначала, даже если оно кажется убого-примитивным. Например, вернуться к тому, что такое одна вторая.

    Ребнок должен понять, что математические понятия - абстрактны, что одно и то же явление можно описать разными словами, выразить разными числами.

  • Мне нравится ответ, данный Mefody66. Добавлю из личной многолетней практики: научить решать задачи с дробями (а не решать дроби; решать дроби нельзя, равно как невозможно решать числа) довольно несложно, надо лишь быть рядом с ребенком, когда он только приступает к решению таких задач, вовремя корректировать его решение, дабы ошибки, которые неизбежны при любом обучении, не успели закрепиться в сознании ребенка. Переучивать сложнее, чем учить новое. И как можно больше решать таких задач. Довести до автоматизма решение таких заданий - вот это хорошо бы сделать. Умение решать задачи с обыкновенными дробями по важности в школьном курсе математики занимает такое же место, как и знание таблицы умножения. Так что надо не полениться и проследить, как ваш ребенок решает такие задачи.

    И не очень опирайтесь при этом на учебник: учителя в школах объясняют именно так, как писал в своем ответе Mefody66. Лучше поговорить с учителем, выяснить, какими словами учитель объяснял эту тему. И использовать по возможности те же слова и фразы (чтобы не сильно запутывать ребенка)

    Еще: наглядные примеры использовать советую лишь на начальном этапе объяснения, потом побыстрее абстрагироваться, переходить к алгоритму решения. Иначе наглядность может повредить при решении более сложных задач. Например, если надо сложить дроби со знаменателями 29 и 121 - какая тут наглядность поможет? Только запутает.

  • Дроби - одна из тех благодатных математических тем, где нет не приложимых к делу абстракций. В ход идти должны продукты ( на quot;тортахquot; , как Хуаните Солис в quot;Отчаянных домохозяйкахquot; - реально классный метод объяснений). Все эти числители-знаменатели - потом. Потом нужно, чтобы ребенок понял, что деление на дробь уже и не уменьшение вовсе, а умножение- не прибавка. Тут лучше показать, как делить на дробь в форме умножения на перевертыш. В игровой форме подать сокращение, если делятся на одно число, то делить, почти судоку получается, если заинтересовать. Главное вовремя заметить непонятки, потому что дальше будут темы покруче, которые понять не просто. Поэтому побольше практики решении дробей и все быстро наладится. Мне, гуманитарию наичистейшему, далкому от малейшей степени абстракции, дроби всегда были понятны, чем остальные темы.

  • info-4all.ru

    Как решать алгебраические дроби? Теория и практика

    Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. Как решать алгебраические дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

    как решать алгебраические дроби

    Понятие алгебраической дроби

    Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q – знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

    как решать алгебраические дроби примеры

    Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение – часть целого.

    как решать алгебраические дроби

    Как правило, целое – это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель – делимое, знаменатель – делитель.

    Основное правило обыкновенных дробей

    Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

    Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

    Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

    Математические операции с дробями

    Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

    Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «–» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

    Часто используется такое понятие, как сокращение дробей. Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

    Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

    1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
    2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

    Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

    как решать сложение и вычитание алгебраических дробей

    Несколько примеров с решениями

    С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

    1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

    как решать основное свойство алгебраической дроби

    2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

    как решать алгебраические дроби

    3. Сократить указанные выражения (с использованием изученного основного правила дроби и сокращения степеней)

    как решать алгебраические дроби примеры

    4. Сократить многочлены. Подсказка: нужно обнаружить формулы сокращенного умножения, привести к подобающему виду, сократить одинаковые элементы.

    как решать основное свойство алгебраической дроби

    Задание на закрепление материала

    1. Какие действия нужно произвести, что найти скрытое число? Решите примеры.

    как решать алгебраические дроби

    2. Умножьте и поделите дроби, пользуясь основным правилом.

    как решать алгебраические дроби примеры

    После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

    fb.ru

    Как объяснить ребенку дроби? - Блог и все письма Ренаты Кирилиной и "Обучение с удовольствием"

    Мы делили апельсин. Много нас, а он один 

    Эта долька для ежа, эта долька для чижа…

    А для волка — кожура.

    В Школе умных детей Любовь Стрекаловская рассказала, как ввести эту тему и сделать так, чтобы ребенок понял тему и научился решать дроби.

    Давайте начнем с самого-самого начала. Представьте себе ребенка, который никогда не видел (а если видел, то не понимает смысла) записи дроби. Он не знает даже этого слова.

    Как объснить ему тему и перейти к более сложной части  -действию с дробями и решению задач? Как не отбить желание к этой теме? Как связать ее с жизнью?

    В школьной программе объяснить дроби предлагается так:

    1 Взять яблоко и предложить съесть его двум детям сразу. Они ответят, что это невозможно. Далее необходимо разрезать фрукт и вновь предложить детям. Каждому достанется по одинаковой половине. Таким образом, половинка яблока является частью от целого яблока. А само яблоко состоит из двух частей.

    2 Вводим запись. И показываем, что одна половинка — это часть от целого, или 1/2. Значит дробь — это число, которое является частью предмета, меньше, чем один. Также дробь — это количество частей от какой-то вещи.

    Далее детям на дом задается выучить определение, и когда введено понятие, начинается период практики.

    Однако, по опросам родителей, эта тема является одной из самых трудных для усвоения детьми.  Когда обучение происходит по принципу — вот правило — учи — применяй, эффект намного ниже, чем при подходе, который предлагает Любовь Стрекаловская в Школе умных детей.

    Ребенок может знать правило, но не понимать, почему это так работает? Почему так записывается?

    А отсюда будут ошибки в сравнении 3/11 и 3/17 частей, ошибки в сравнии 2/5 и 1/5 частей

    Согласно методике, представленной в школе умных детей, ребенок подводится к новым знаниям и умениям, но все выводы делает самостоятельно. И основной упор при объяснении дел делается на понимание ребенком смысла той или иной темы.

    Как эффективно объяснить ребенку дроби?

    Шаг первый — Ввести понятие «доли».

    Детям показывают апельсин и предлагают разделить его на доли.

    Один апельсин — это целый предмет. И состоит он из долей.

    Мы делили апельсин. Много нас, а он один 

    Эта долька для ежа, эта долька для чижа…

    А для волка — кожура.

    На доли можно поделить многое: арбуз, яблоко, шоколад и даже квартиру (комната, кухня, коридор — все это доли квартиры)

    Будет замечательно, если ребенок и вы возьмете и физически разделите шоколадку на доли, апельсинку на доли, мандаринку на доли.

    Именно на этом шаге мы обращаем внимание на то, что один апельсин — это целый предмет, и его можно обозначить цифрой 1.

    Шоколадка — целый предмет, или 1 шоколадка.

    Вторым шагом необходимо ввести понятие «дробь».

    Ведь мы шоколадку «разделили» или «раздробили» на части! Апельсин разделили или «раздробили» на доли!

    Хорошим подспорьем являются детали ЛЕГО, из которых можно собрать целый прямоугольник и «раздробить» его на части.

    На этом шаге можно нарисовать прямоугольник, разделить его на 4 равные части, например, и попросить ребенка закрасить (или отделить) одну часть, две части.

    Нарисовать квадрат, раздробить его на 4 части. И попросить закрасить 2 части.

    Шаг три — научить ребенка записывать часть

    Передаем инициативу думать и делать выводы ребенку и задаем ему вопрос.

    — Кто догадается, сколько всего частей в этом предмете? 

    — На сколько частей мы его раздробли? Разделили? 

     

    На четыре!

    Вспоминаем, что деление (при делении в столбик, записывается чертой)

    Так же и в дробях. Черта обозначает деление! На сколько частей мы разделили данный прямоугольник?

    Так и напишем, делили на 4

     

    А теперь сколько частей мы взяли? Закрасили?

    А давай возьмем две части? Как закрасим? Как напишем?

    Далее необходимо разделить прямоугольник на другое количество частей, и предожить взять две части. Спросите ребенка, как это показать?

    Как записать, что взяли 2 части из 5?

    Вспоминаем, что надо поставить черту (разделить), на 5 частей. И взять 2 части

    Шаг 4 Переходим к записи целой части через дробь

    Для этого шага пригодится шоколадка.

    Можно спросить, сколько шоколадок? Одна.

    — На сколько долек мы раздробили шоколадку?  — На 8 долек.

    — Как записать шоколадку, но с помощью дроби? На сколько разделили?

    — На 8 частей.

    — А в целой сколько частей?

    8 частей или 8/8 целая шоколадка.

    Далее возвращаемся и записываем целым предметом другие разделенные до этого предметы.

    Шаг 5. Практика

    Отломите  три кусочка, дайте ребенку. Сколько дали? 3. От скольки? от 8!

    Запишем полученную дробь 3/8!

    Детали лего, полоски, прямоугольники, шоколад, конфеты, жвачки с дольками и т.п

    В ход идет любой подручный материал.

    Но одно условие — дробить надо на равные части.

    Дети очень любят играть с дольками из  пачки жвачки.

    10/10 — это целая упаковка жвачки

    2/10 — как в рекламе

    6/10 — 6 долек из пачки жвачки

    Шаг 6. Разбираемся в терминологии

    И снова задаем ребенку вопросы и помогаем найти ответы.

    — В числе 3/8 что обозначает число 8?

    — На сколько поделили!

    — Что означает число 3?

    — Сколько взяли!

    — Правильно, число долек, которое взяли. Его еще называют числитель.

    Шаг 7. Задачки с подвохом

    Предложите ребенку две дроби:

     

    И поставить знак >  в ту сторону, какая дробь больше

    Для выполнения задания лучше взять шоколадку, в которой есть 20 долек.

    И взять 2 дольки (приложить к дроби 2/20) и 4 дольки (приложить к дроби 4/20). Спросить, где больше. Глядя куда ворона откроет рот?

    Техника ворона, благодаря которой детям можно объяснить тему сравнения чисел представлена в видео ниже:

    Когда ребенок справится с этим заданием и подобными, усложняем задачу.

    Пишем другой пример:

    Вспоминаем шоколадку.

    Взяли и там и там по две части. Но в первом случае, раздробили шоколадку на 20 долек, а во втором — эту же шоколадку, на 10 долек.

    Конечно, лучше всего проделать это на практике.

    Подобные сравнения — самая сложная тема для детей на этапе знакомства с темой дроби. Им кажется, что если число 20 больше, то и дробь тоже.

    И именно здесь скрывается подводный булыжник.

    Попробуйте и практикуйте с шоколадкой такие примеры.

    Ребенок, при соблюдении последовательности шагов при объяснении темы, а так же, если вы не будете давать готовые решения и ответы, схватит тему и поймет ее.

    А именно это является самым ценным.

    Такой подход называется — проблемным обучением, или развитием в ребенке критического мышления. Когда мы ребенку не даем правило или ответ, но помогаем вывести его самому.

    Ведь ребенок сам назвал, что шоколадку «раздробили», а значит узнал слово «дробь».

    Сам вспомнил, как записывать деление чертой.

    Сам ответил, что в примере 3/8, тройка — это число долек, которые «Взяли», числитель

    Сам понял, что 8 — это на сколько поделили.

    Практика в сочетании с правильной методикой обучения творит чудеса!

    В школе умных детей вы найдете простые и понятные видео-ответы на все темы, получите уникальный опыт учителя и пошаговую инструкцию, как и что объяснить ребенку.

    Чтобы дети, которые не понимают ту или иную тему или которым не повезло с учителем, имели возможность полюбить обучение, учиться у лучших учителей (в том числе по английскому у носителей языка)

    Чтобы родители, которые совсем не педагоги, и не знают методик преподавания, имели инструмент, позволяющий легко и просто учить ребенка на семейном обучении или стать ребенку грамотным помощником дома, не тратя бюджет семьи на репетиторов.

    Школа умных детей — это инвестиция, которая окупится уже в первые месяцы обучения ребенка.

    Что вы получите?

    Уроки по русскому и математике на 4-6 минут, это объяснение для родителей, как объяснить ребенку ту или иную тему, с какими сложностями можно столкнуться. Но многие наши родитетели напрямую включают уроки деткам (3-4 класс смело), а в 1-2 классе вместе смотрят и потом выполняют задания.

    Уроки по английскому языку — это напрямую уроки для детей с отдельными поясняющими уроками и материалами для родителей.

    Так же в школе открыта база знаний с техниками эффективного обучения: как учить стихотворения, определения, пересказывать текст, повысить скорость чтения и другие инструменты

    И многое, много другое.

    Сейчас в школе около 500 уроков на все сферы школьной жизни.

    Доступ октрывается ко всем урокам начальных классов (1-4 классы) до мая 2019 года (1.5 учебных года вместо 1) при оплате в ноябре-декабре 2017 года

    Получить объяснение всех тем начальной школы простым и эффективным языком

    Получить объяснение всех тем начальной школы простым и эффективным языком

     

    Наша система позволит вам отыскать самую короткую дорогу на пути к воспитанию умного, счастливого, успешного, талантливого ребенка, верящего в себя.

    Вы получите четкую систему действий, которая заиграет ярко, живо и с любовью.

    Станьте участником Школы умных детей уже сегодня и получите эффективную систему обучения ребенка.

    Стать участником школы умных детей

     

    Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять

    Понравилось это:

    Нравится Загрузка...

    Похожее

    gladtolearn.ru

    Как решать дроби. Решение дробей.

    В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей!

    Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

    Дроби имеют вид : ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

    В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

    Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

    Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

    Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

    Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.

    Например, 5 целых 3/4.

    Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

    Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс, вам надо понять, что решение дробей, в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

    • Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
    • Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
    • Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

    Как решать дроби. Примеры.

    К дробям применимы самые разные арифметические операции.

    Приведение дроби к общему знаменателю

    Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

    Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

    Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

    Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

    Ответ: 15/20

    Сложение и вычитание дробей

    Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

    Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

    Ответ: 5/6

    Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

    Ответ: 1/4

    Умножение и деление дробей

    Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

    • Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
    • Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

    Например:

    На этом о том, как решать дроби, всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей, что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

    Для закрепления материала рекомендуем также посмотреть наше видео:

    Также рекомендуем к использованию наш онлайн калькулятор дробей! В нем вы можете посмотреть, как строить решение, на собственных примерах.

    Если вы учитель , то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    reshit.ru

    Действия с дробями, подробно с примерами

    Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь список материалов и изучать последовательно.

    1. Сумма дробей, разность дробей.

    Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

    Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь  – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

    Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

    Примеры (1):

    Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

    Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

    Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

    Примеры (2):

    Ещё:

    А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

    Примеры (3):

    *Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

    *Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

    Ещё пример:

     

    Вывод: имеется универсальный подход  – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

    Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели.  А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

    Рассмотрим простые примеры:

    В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

    Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ.

    То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразования.

    Посмотрите на эти примеры:

    К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

    Способ ВТОРОЙ.

    Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

    Пример:

    *Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

    Рассмотрим пример:

    Видим, что числитель и знаменатель делится на 5:

    Способ ТРЕТИЙ.

    Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

    Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

    Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но  пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

    Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

    — разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

    — выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

    — умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

    Рассмотрим примеры: 

    50 и 60   =>  50 = 2∙5∙5    60 = 2∙2∙3∙5

    в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

     =>   НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

    48 и 72   =>   48 = 2∙2∙2∙2∙3    72 = 2∙2∙2∙3∙3            

    в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

    =>   НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

    * Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

    Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

    Рассмотрим примеры:

    *51 = 3∙17    119 = 7∙17

    в разложении большего числа не хватает тройки

     =>   НОК(51,119) = 3∙7∙17

    А теперь применим первый способ:

    *Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

    Ещё примеры:

    *Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

    ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

    — приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

    — приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

    — получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

    — если необходимо, то результат сокращаем.

    — если необходимо, то выделяем целую часть.

    2. Произведение дробей.

    Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

    Примеры:

    Если есть возможность сократить дробь на стадии вычисления, то лучше это сделать:

    Ещё правило относящееся к умножению!

    Примеры, которые мы уже рассмотрели:

    Определить, сколько составляет 3/7 от числа 63?

    Задача. Весь путь составляет 180 километров. Турист в первый день прошёл 3/10 пути. Сколько километров турист прошёл в первый день?

    Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм  картофеля завезли на базу?

    С произведением закончим.

    *Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

    3. Деление дробей.

    Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

    Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

    Примеры:

    На этом всё! Успеха вам!

    С уважением, Александр Крутицких.

    Делитесь информацией в социальных сетях.

    matematikalegko.ru

    Дроби, операции с дробями | umath.ru

    Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби \frac{5}{7} числителем является число 5, а знаменателем — 7.

    Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными.

    Дробь называют смешанной, если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

        \[5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}.\]

    Основное свойство дроби

    Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

        \[\frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}=\frac{12}{20}.\]

    Приведение дробей к общему знаменателю

    Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

    1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
    2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
    3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

    Действия с дробями

    Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

    1. Привести дроби к общему знаменателю
    2. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

    Пример:

        \[\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}=1\frac{1}{10}.\]

    Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

    1. Привести дроби к общему знаменателю
    2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

    Пример:

        \[\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}.\]

    Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

        \[\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}.\]

    Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

        \[\frac{5}{3} : \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}.\]

    umath.ru