Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Как найти косинус в прямоугольном треугольнике


Косинус в треугольнике | Треугольники

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

  Например, для угла A треугольника ABC

прилежащий катет — это AC.

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

    \[\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}}\]

 

 

kosinus ugla v treugolnike  Для угла B треугольника ABC

прилежащим является катет BC.

Соответственно,  косинус угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AB:

    \[\cos \angle B = \frac{{BC}}{{AB}}\]

 

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

    \[0 < \cos \angle A < 1\]

 

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

 

Например,

в треугольниках ABC и FPK

∠A=60º, ∠F=60º.

 

    \[\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2},\]

    \[\cos \angle F = \frac{{KF}}{{FP}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}.\]

 

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

www.treugolniki.ru

Замечательные отношения в прямоугольном треугольнике

Категория: ПланиметрияСправочные материалы

Елена Репина 2013-05-22 2013-08-04

  На всякий случай, уточним, что гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике  называется отношение  противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике  называется отношение  прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника.  Формулы приведения  позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

 Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Автор: egeMax | комментариев 8 | Метки: шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Как найти косинус треугольника?

Интересное Задать вопрос

5.0 0.5 5 23

Учеба / Геометрия / Планиметрия Владимир Шередега

18 января 2013

37331

elhow.ru

Синус косинус и тангенс - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{\circ}.
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2.Поделим обе части на :Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим:1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус.Аналогично,

    1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{\circ} до 90^{\circ}.

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике ABC угол  равен 90^{\circ}, . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{\circ}, .

2. В треугольнике ABC угол  равен 90^{\circ}, AB=5, . Найдите AC.

Имеем:

Отсюда

BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} или с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике

Рассмотрите такой вариант: Гипотенуза по т.Пифагора равна: \sqrt{ 5^{2} +13^{2}}= С одной стороны, площадь этого прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то есть 1/2 *13*5=65/2. С другой стороны, площадь этого же треугольника равна полупроизведению.

Косинус в треугольнике

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Например, для угла A треугольника ABC

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

Прилежащим является катет BC.

Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC

Равен отношению BC к AB:

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

В треугольниках ABC и FPK

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике

Косинус в прямоугольном треугольнике

Косинус в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, он зависит исключительно от величины угла и не зависит от размеров самого треугольника.

Формула для нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике

Косинус одного угла, равняется синусу другого угла. Математически это можно выразить следующим образом:

Исходя из указанных выше свойств и формул, можно найти величины 2-х сторон прямоугольного треугольника, зная величину одной стороны и его углов (а точнее их косинусов).

Кроме того существуют таблицы, которые содержат значения косинусов для всех возможных углов.

Как найти неизвестную сторону треугольника?

Зная величины двух сторон и угла, противолежащего неизвестной стороне, можем найти третью сторону в любом треугольнике (не обязательно прямоугольном), воспользовавшись формулой:

*Следует помнить, что для тупого угла (а > 90) косинус принимает отрицательное значение (меньше нуля).

Если по данной формуле попытаться найти размер стороны С, то получим стандартное представление Теоремы Пифагора. Это вызвано тем, что косинус угла 90 градусов равен нулю. Таким образом, произведение, записанное после знака минус, будет равно нулю.

Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике

Косинус в треугольнике

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Например, для угла A треугольника ABC

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

Прилежащим является катет BC.

Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC

Равен отношению BC к AB:

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

В треугольниках ABC и FPK

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике

poiskvstavropole.ru

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Противолежащий катет - это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  sin{A}=a/bsin{C}=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет - это тот катет, который является одной из  сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  cos{A}=c/bcos{C}=a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  tg{A}=a/ctg{C}=c/a

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и  с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание В7 (№ 27217)  В треугольнике ABC  угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=7/{25}. Найдите cos {A}

рис.1

Решим эту задачу двумя способами.

а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

{cos}^2{A}=1-{sin}^2{A}=1-{(7/25)}^2=1-{{49}/{625}}={625-49}/{625}={576}/{625}

cos{A}={24}/{25}

б. sin{ A}={BC}/{AB}=7/{25}

Введем единичный отрезок x, тогда BC=7xAB=25x

По теореме Пифагора AC=24x.

Тогда cos{A}={AC}/{AB}={24x}/{25x}={24}/{25}

Ответ: cos{A}={24}/{25}

2. Задание В7 (№27220)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=0,1. Найдите  cos {B}

Смотрим на рис.1:

cos {B}={CB}/{AB}=sin{ A}

Значит, cos {B}=0,1

Ответ: cos {B}=0,1

3.  Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=4/{sqrt{17}}. Найдите  tg {B}

sin{ A}={CB}/{AB}=4/{sqrt{17}}

Введем единичный отрезок x, тогда CB=4xAB=sqrt{17}x

По теореме Пифагора AB^2=AC^2+CB^2

17x^2=AC^2+16x^2

AC^2=x^2

AC=x

tg {B}={AC}/{CB}=x/{4x}=0,25

Ответ: tg {B}=0,25

4. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=7/{25},  AB=5. Найдите AC.

sin{ A}={BC}/{AB}=7/{25}

Введем единичный отрезок x, тогда BC=7xAB=25x

По теореме Пифагора AC=24x

Найдем xAB=25x=5 - по условию.

Значит, x=1/5. Отсюда AC=24x=24/5=4,8

Ответ: AC=4,8

5. Задание В7 (№27259)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=2/3,  AB=27. Найдите AH.

Найдем AC из треугольника  ABC

AC - прилежвщий  к углу A катет, поэтому он связан с AB через cos{A}

Найдем cos{A} с помощью основного тригонометрического тождества:

cos{A}=sqrt{1-sin^2{A}}=sqrt{1-{(2/3)}^2}={sqrt{5}}/3

cos{A}={AC}/{AB}, отсюда AC=ABcos{A}=27{sqrt{5}}/3=9{sqrt{5}}

Теперь рассмотрим треугольник ACH, в котором AC - гипотенуза, а AH - катет, связанные между собой через cos{A}:

cos{A}={AH}/{AC}, отсюда AH=ACcos{A}={9sqrt{5}}*{sqrt{5}}/3=15

Ответ: AH=15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

ege-ok.ru

Синус в треугольнике | Треугольники

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   Например,

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}}\]

 

 

sinus ugla v treugolnike   Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно,  синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

    \[\sin \angle B = \frac{{AC}}{{AB}}\]

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

    \[0 < \sin \angle A < 1\]

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

Например,

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Тогда

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{5}.\]

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Тогда

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}.\]

 

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Угол A в обоих треугольниках одинаков.

www.treugolniki.ru