6.2. Найти единичный вектор того же направления что и . Как найти перпендикулярный вектор данному


Как найти вектор перпендикулярный вектору

Рассмотрим формулы и примеры, с помощью которых станет проще понять как найти вектор перпендикулярный вектору.Для перпендикулярности двух векторов необходимо выполнение одного условия: скалярное произведение данных векторов должно быть равным нулю.Сразу же рассмотрим два случая:

1-й случай. Векторы заданы на плоскости. В таком случае они будут заданы двумя координатами х и у и условие перпендикулярности этих векторов будет:

    \[x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2=0.\]

2-й случай. Векторы заданы в пространстве. В таком случае они будут заданы тремя координатами х, у и z и условие перпендикулярности этих векторов:

    \[x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2=0.\]

Рассмотрим на примере как найти вектор перпендикулярный другому вектору.

Пример 1.Заданы два вектора \overrightarrow{v_1}=\left(78;;\ -13\right) и \overrightarrow{v_2}=\left(-7;;\ -d\right). Найдем значение d, при котором данные векторы будут перпендикулярными.

Решение.Для перпендикулярности векторов, заданных на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось условие равности их скалярного произведения нулю, то есть для нашего случая условие первое:

    \[x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2=0.\]

Подставим в него известные координаты векторов и вычислим неизвестное d:

    \[78\cdot \left(-7\right)+\left(-13\right)\cdot \left(-d\right)=0;\]

    \[-546+13d=0;\]

    \[d=-\frac{546}{13};\]

    \[d=-42.\]

Ответ. Векторы \overrightarrow{v_1} и \overrightarrow{v_2} будут перпендикулярными при d=-42.

На самом деле ничего сложно нет, нужно только определить на плоскости или в пространстве заданы векторы, взять нужную формулу, подставить в нее координаты и посчитать результат.

ru.solverbook.com

Как найти вектор, перпендикулярный данному

В геометрии вектор определяется как упорядоченная пара точек, одну из которых считают его началом, другую - концом. В начертательной геометрии построить вектор, перпендикулярный заданному, можно с помощью транспортира отмерив нужный угол и начертив соответствующий отрезок. В аналитической геометрии для вычисления координат такого направленного отрезка придется задействовать правила скалярных операций с векторами.

Инструкция

  • Если исходный вектор изображен на чертеже в прямоугольной двухмерной системе координат и перпендикулярный ему нужно построить там же, исходите из определения перпендикулярности векторов на плоскости. Оно гласит, что угол между такой парой направленных отрезков должен быть равен 90°. Таких векторов можно построить бесконечное множество. Поэтому начертите в любом удобном месте плоскости перпендикуляр к исходному вектору, отложите на нем отрезок, равный длине заданной упорядоченной пары точек и назначьте один из его концов началом перпендикулярного вектора. Сделайте это с помощью транспортира и линейки.
  • Если же исходный вектор задан двухмерными координатами ā = (X₁;Y₁), исходите из того, что скалярное произведение пары перпендикулярных векторов должно быть равно нулю. Это значит, что вам надо подобрать для искомого вектора ō = (X₂,Y₂) такие координаты, при которых будет выполняться равенство (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Это можно сделать так: выберите любое ненулевое значение для координаты X₂, а координату Y₂ рассчитайте по формуле Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например, для вектора ā = (15;5) перпендикулярным будет вектор ō, с абсциссой, равной единице, и ординатой, равной -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).
  • Для трехмерной и любой другой ортогональной системы координат верно то же самое необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов - их скалярное произведение должно быть равно нулю. Поэтому, если исходный направленный отрезок задан координатами ā = (X₁,Y₁,Z₁), подберите для перпендикулярной ему упорядоченной пары точек ō = (X₂,Y₂,Z₂) такие координаты, при которых выполняется условие (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Проще всего присвоить координатам X₂ и Y₂ единичные значения, а Z₂ рассчитать из упростившегося равенства Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Например, для вектора ā = (3,5,4) эта формула приобретет такой вид: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тогда абсциссу и ординату перпендикулярного вектора примите за единицу, а аппликата в этом случае будет равна -(3+5)/4 = -2.

completerepair.ru

Как найти перпендикулярный вектор

Перпендикулярными называются вектора, угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.

Вам понадобится

  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - линейка.

Инструкция

  • Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая является началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно сделать при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.
  • Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше радиуса первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.
  • Определите перпендикулярность двух произвольных векторов. Для этого с помощью параллельного переноса постройте их так, чтобы они исходили из одной точки. Измерьте угол между ними, при помощи транспортира. Если он равен 90º, то вектора перпендикулярны.
  • Найдите вектор, перпендикулярный тому, координаты которого известны и равны (x;y). Для этого найдите такую пару чисел (x1;y1), которая удовлетворяла бы равенству x•x1+y•y1=0. В этом случае вектор с координатами (x1;y1) будет перпендикулярен вектору с координатами (x;y).
  • ПримерНайдите вектор, перпендикулярный вектору с координатами (3;4). Используйте свойство перпендикулярных векторов. Подставив в него координаты вектора, получите выражение 3•x1+4•y1=0. Подберите пары чисел, которые делают это тождество верным. Например, пара чисел x1=-4; y1=3 делает тождество верным. Значит, вектор с координатами (-4;3) будет перпендикулярен данному. Таких пар чисел можно подобрать бесконечное множество, а потому и векторов тоже бесконечно много.
  • Проверяйте перпендикулярность векторов при помощи тождества x•x1+y•y1=0, где (x;y) и (x1;y1) координаты двух векторов. Например, вектора с координатами (3;1) и (-3;9) перпендикулярны, так как 3•(-3)+1•9=0.

completerepair.ru

Перпендикулярные векторы и условие перпендикулярности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два вектора \bar{a} и \bar{b} называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой.

Перпендикулярные векторы и условие перпендикулярности

Условие ортогональности векторов. Векторы \bar{a} и \bar{b} будут ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

    \[\bar{a}\bot \bar{b}\Leftrightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\]

Если векторы заданы своими координатами: \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right), то условие ортогональности запишется в виде:

    \[a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3} =0\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Исследовать векторы \bar{a}=\left(-1;\; 2\right) и \bar{b}=\left(3;\; 1\right) на ортогональность.
Решение Согласно условию ортогональности, два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат:

    \[\bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot 3+2\cdot 1=-3+2=-1\ne 0\]

Поскольку в результате получили ненулевое значение, то делаем вывод, что векторы не являются ортогональными.

Ответ Векторы \bar{a} и \bar{b} не ортогональны.
ПРИМЕР
Задание При каком значении параметра \lambda векторы \bar{a}=\left(3;\; -1;\; -2\right) и \bar{b}=\left(2-\lambda ;\; \lambda ;\; 5\right) будут ортогональными?
Решение Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=3\cdot \left(2-\lambda \right)+\left(-1\right)\cdot \lambda +\left(-2\right)\cdot 5=0\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow 6-3\lambda -\lambda -10=0\Rightarrow -4\lambda =4\Rightarrow \lambda =-1\]

Таким образом, заданные векторы ортогональны при \lambda =-1.

Ответ \lambda =-1

ru.solverbook.com

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В В ПРОСТРАНСТВЕ.

Чтобы зафиксировать плоскость в пространстве ОХУZ достаточно задать точку на ней и ненулевой вектор перпендикулярный плоскости. При выводе уравнения плоскости мы пользуемся следующим определением.

Определение 1. Вектор назовём вектором перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором к данной плоскости.

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

Точка принадлежит плоскости, тогда и только тогда, если координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.

Приступим к выводу уравнения плоскости. Сформулируем конечный результат.

Теорема 2. Плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор , задаётся уравнением

(1)

Доказательство. Нужно проверить, что если точка принадлежит нашей плоскости , то справедливо равенство . Так как точки принадлежат плоскости, то вектор лежит на плоскости и по условию теоремы 2 он перпендикулярен нормальному вектору . Следовательно скалярное произведение равно нулю

Рис.1

Отсюда и следует формула (1).

 

Пример 1. Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Согласно теореме.2 уравнение искомой плоскости задаётся формулой (1) .Подставляя в неё данные задачи , получаем ответ: .

Таким образом если требуется найти уравнение плоскости, то из данных задачи нужно найти точку, через которую про ходит плоскость и любой вектор нормальный к данной плоскости .

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и параллельную векторам .

Решение. Для написания уравнения плоскости не хватает задания вектора нормального к плоскости. Векторы параллельные плоскости можно параллельным сдвигом расположить на плоскости. Вектор , перпендикулярный векторам будет на основании теоремы 1 вектором нормальным к плоскости. Поэтому вектор можно определить как векторное произведение векторов

Отсюда по формуле (1) получаем искомое уравнение плоскости

Замечание. Если в формуле (1) раскрыть скобки, то уравнение плоскости принимает вид

(2)

Такое уравнение плоскости называют общим уравнением плоскости.

Пример 3. Переписать уравнение плоскости в общем виде.

Решение. Раскрывая скобки, получаем ответ .

Приведем простые правила .

Правило 1. Условие параллельности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие коллинеарные нормальные векторы параллельны

(3) или

( у коллинеарных векторов координаты пропорциональны) (4)

Правило 2. Условие перпендикулярности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие перпендикулярные нормальные векторы перпендикулярны

(5)

Правило 3. Вычисление значения линейного угла между плоскостями.Линейный уголмежду плоскостями , имеющих нормальные векторы вычисляется по формуле

(6)

Пример 4. Проверить взаимное расположение плоскостей

4) Вычислить угол между плоскостями 2) и 4).

Решение. Поскольку все вышеприведённые правила используют понятие нормального вектора к плоскости, то вычисляем эти нормальные вектора

-нормальный вектор к плоскости 1) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 2) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 3) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 4) равен .

Отсюда :

1) векторы коллинеарные, так как по формуле (3) :

2) векторы перпендикулярные, так как по формуле (4) .

3) Вычислим угол между плоскостями 2) и 4)

Согласно формуле (5) получаем

Используя калькулятор, находим угол: .

Прямые линии в пространстве

Для того чтобы получить уравнение наклонной прямой линии на плоскости нам нужно было задать точку на прямой и наклон прямой к оси ОХ. Для того, чтобы получить аналогичное уравнение в пространстве необходимо задать точку на прямой и ненулевой вектор параллельный прямой. Вектор называют направляющим вектором прямой (см. рис.2).

Наиболее простым способом задания прямой является параметрическое задание прямой. Способ задает систему уравнений, в которых координаты любой точки прямой являются функциями параметра .

Теорема 5.3.Параметрические уравнения

(7)

задают при любом значении параметра координаты точки , лежащей на прямой.

Доказательство. Докажем формулу (7). Пусть точка лежит на прямой, которая параллельна вектору .Тогдавекторы и коллинеарные и следовательно

Отсюда следует формула (7).

 

 

О

Рис.2

Записывая уравнения (7) в виде пропорций получаем канонические уравнения прямой

(8)

Пример 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Подставляем данные примера в формулу (4), дающую параметрические уравнения прямой и записываем ответ: . Меняя ,получаем различные точки на прямой. Взяв =3, получим точку , лежащую на прямой правее точки . Взяв =-3, получим точку , лежащую на прямой левее точки . Взяв =0, получим точку начальную точку , лежащую на прямой.

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В .

Решение. Согласно условиям теоремы 3 нам не хватает вектора параллельного прямой. Но из условия задачи его легко получить. Можно взять вектор . Тогда из формулы (7)

получаем параметрические уравнения прямой . В уравнениях

за начальную точку взята точка А .

Похожие статьи:

poznayka.org

6.2. Найти единичный вектор того же направления что и .

Единичный вектор находится: , где– модуль вектора.

Находим

тогда

Ответ: .

Примечание. Координаты единичного вектора должны быть не больше единицы.

6.3. Найти длину и направляющие косинусы вектора . Сравните с ответом в предыдущем пункте. Сделайте выводы.

Длина вектора – это есть его модуль:

, а направляющие косинусы мы можем найти по формуле одного из способов задания векторов:

Из полученного мы видим, что направляющие косинусы это и есть координаты единичного вектора.

Ответ: ,,,.

6.4. Найти .

Необходимо выполнить действия умножения вектора на число, сложения и модуль.

Почленно перемножаем координаты векторов на число.

Почленно складываем координаты векторов.

Находим модуль вектора.

Ответ:

6.5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору, зная, чтои он направлен в сторону, противоположную вектору.

Вектор коллинеарен вектору, значит, его единичный вектор равен единичному векторутолько со знаком минус, т.к. направлен в противоположную сторону.

Единичный вектор имеет длину равную 1, значит, если его умножить на 5, то его длинна будет равна пяти.

Находим

Ответ:

6.6. Вычислить скалярные произведения и. Перпендикулярны ли векторыи,имежду собой?

Выполним скалярное произведение векторов.

Если вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Мы видим, что в нашем случае вектораиперпендикулярны.

Ответ: ,, векторы не перпендикулярны.

Примечание. Геометрический смысл скалярного произведения малоприменим на практике, но все-таки существует. Результат такого действия можно изобразить и вычислить геометрически.

6.7. Найти работу, совершённую материальной точкой к которой приложена сила , при перемещении её из точки B в точку С.

Физический смысл скалярного произведения – это работа. Вектор силы здесь , вектор перемещения – это. А произведение этих векторов и будет искомой работой.

Находим работу

Ответ: -3.

6.8. Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC.

Из определения, скалярного произведения векторов получим формулу нахождения угла: .

Далее, нам нужно определить вектора, между которыми будем искать угол.

Внутренний угол будем искать как угол между векторами, выходящими из одной точки.

Для нахождения внешнего угла нужно совмещать вектора, таким образом, чтоб они выходили из одной точки. Рисунок это поясняет.

Стоит заметить, что , только имеют разные начальные координаты.

Находим необходимые вектора и углы

Ответ: внутренний угол при вершине А = , внешний угол при вершине В =.

6.9. Найти проекции векторов: и

Вспомним вектора-орты: ,,.

Проекция находится также из скалярного произведения

–проекция b на a.

Ранее полученные нами вектора

, ,

Находим проекцию

Находим вторую проекцию

Ответ: ,

Примечание. Знак минуса при нахождении проекции означает то, что проекция опускается не на сам вектор, а в противоположную сторону, на линию на которой лежит этот вектор.

6.10. Вычислить .

Выполним векторное произведение векторов

Найдем модуль

Синус угла между векторами найдём из определения векторного произведения векторов

Ответ: ,,.

6.11. Найти площадь треугольника ABC и длину высоты, опушенной из точки С.

Геометрический смысл модуля векторного произведения состоит в том, что это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Площадь треугольника также можно найти как произведение высоты, на основание, делённое на два, из этого можно вывести формулу нахождения высоты.

Таким образом, найдём высоту

Ответ: ,.

6.12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и.

Результатом скалярного произведения есть вектор, который перпендикулярный двум исходным. А единичный вектор – это вектор, делённый на его длину.

Ранее, нами было найдено:

,

Ответ: .

6.13. Определить величину и направляющие косинусы момента силы , приложенной к А относительно точки С.

Физический смысл векторного произведения – это момент силы. Приведём иллюстрацию к данному заданию.

Находим момент силы

Ответ: .

6.14. Лежат ли векторы ,ив одной плоскости? Могут ли эти векторы образовывать базис пространства? Почему? Если могут, разложите по этому базису вектор.

Чтобы проверить лежат ли вектора в одной плоскости необходимо выполнить смешанное произведение этих векторов.

Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, вектора не лежат в одной плоскости (не компланарные) и могут образовывать базис. Разложим по этому базису.

Разложим по базису, решив уравнение

Ответ: Векторы ,ине лежат в одной плоскости..

6.15. Найти . Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD.

Геометрический смысл смешанного произведения в том, что это объём параллелепипеда образованного этими векторами.

Объём же пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.

Объём пирамиды, ещё можно найти так:

Получим формулу нахождения высоты

Находим

Находим высоту

Ответ: объём = 2.5, высота =.

6.16. Вычислить и.

–над этим заданием предлагаем вам подумать самим.

–выполним произведение.

Ранее было получено

Ответ: .

6.17. Вычислить

Выполним действия по частям

1)

2)

3)

4)

5)

Суммируем полученные значения

Ответ: .

6.18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторами, а его проекция на векторравна 5.

Разобьем данную задачу на две подзадачи

1) Найдём вектор, перпендикулярный векторам ипроизвольной длинны.

Перпендикулярный вектор мы получим в результате векторного произведения

Ранее, нами было найдено:

Искомый вектор отличается лишь длинной, от полученного

2) Найдем через уравнение

Ответ:

6.19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям,,.

Рассмотрим более детально данные условия.

Это система линейных уравнений. Составим и решим данную систему.

Ответ:

6.20. Определить координаты какого-либо вектора , компланарного с векторамии, и перпендикулярного вектору.

В данном задании два условия: компланарность векторов и перпендикулярность, выполним сначала первое условие, а потом второе.

1) Если вектора компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю.

Отсюда получим некоторую зависимость координат вектора

Найдем вектор .

2) Если вектора перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю

Мы получили вторую зависимость координат искомого вектора

Для любого значения вектор будет удовлетворять условиям. Подставим.

Ответ: .

Аналитическая геометрия

studfiles.net