Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр. Как найти радиус через хорду


Как найти радиус по хорде

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Пускай длина хорды знаменита. Тогда, если также знаменит угол между радиусами , проведенными в концы хорды, то дозволено обнаружить и радиус окружности.

Вам понадобится

  • Транспортир, линейка.

Инструкция

1. Пускай вестимы длина хорды AB и угол AOB между радиусами , проведенными в концы хорды. Обнаружим по этим данным радиус окружности с центром в точке O.

2. Треугольник AOB — равнобедренный, потому что OA = OB = R. По свойству равнобедренного треугольника высота OE единовременно является его медианой и биссектрисой угла AOB. Обозначим угол AOB за х.Треугольник AEO — прямоугольный с прямым углом AEO. Потому что высота ОЕ также является биссектрисой угла AOB, то угол AOE = x/2. Тогда из прямоугольного треугольника AOE имеем: OA = R = (AB/2)/sin(x/2).

Если для многоугольника получается возвести вписанную и описанную окружности, то площадь этого многоугольника поменьше площади описанной окружности, но огромнее площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников вестимы формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Инструкция

1. Вписанной в многоугольник именуется окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника формула радиуса вписанной окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p — полупериметр; a, b, c — стороны треугольника. Для верного треугольника формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а — сторона треугольника.

2. Описанной вокруг многоугольника именуется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус описанной окружности находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p — полупериметр; a, b, c — стороны треугольника. Для положительного треугольника формула проще: R = a/3^1/2.

3. Для многоугольников не неизменно допустимо узнать соотношение радиусов вписанных и описанных окружностей и длин его сторон. Почаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а после этого физического измерения радиуса окружностей с подмогой измерительных приборов либо векторного пространства.Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы 2-х его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины всякого угла многоугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры именуются срединными). Довольно возвести два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание! В произвольно данный многоугольник невозможно вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Полезный совет В четырехугольник дозволено вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d — стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника дозволено описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;Для треугольника такие окружности неизменно существуют.

jprosto.ru

Как найти хорду окружности зная радиус

Задача.Как найти хорду окружности, зная радиус этой окружности, равный 13 см, и расстояние от хорды до центра — 5 см? Решение.Начертим окружность с центром О.Проведем хорду КР окружности и радиусы КО и РО.По условию КО = РО = 13 см.Расстоянием от хорды до центра окружности будет перпендикуляр из точки О к хорде КР. Назовем его ОН. По условию его длина будет ОН = 5 см.Из свойств хорды окружности перпендикуляр ОН делит хорду КР пополам, поэтому отрезки КН = НР = КР / 2.Рассмотрим треугольник КОН. Он является прямоугольным, так как ОН перпендикулярно КР.По теореме Пифагора выразим длину катета КН:

    \[{KH}^2+{OH}^2={OK}^2\]

    \[{KH}^2={OK}^2-{OH}^2\]

    \[KH=\sqrt{{OK}^2-{OH}^2}\]

Можно подставить известные данные и найти длину катета КН треугольника КОН:KH=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 (см).При рассмотрении свойств хорды пришли к выводу, что КН = КР / 2. Из этого равенства выразим длину стороны КР треугольника КРО:КР = 2 * КН.Зная длину отрезка КН можно вычислить искомую длину хорды КР окружности:КР = 2 * КН = 2 * 12 = 24 (см). Ответ. 24 см. Такие несложные задачи часто попадаются на экзаменах.Самое первое, что нужно сделать для успешного решения — выполнить правильный чертеж и по возможности нанести на него все известные величины. Тогда более очевидным становится набор тех неизвестных, которые нужно найти, чтобы решить задачу. 

ru.solverbook.com

Найти длину радиуса окружности (круга), все основные формулы.

Радиус окружности - отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

окружность радиус

R - радиус окружности (круга)

D - диаметр, D = 2R

O - центр круга

π ≈ 3.14

 

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

Формула радиуса, площадь

 

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

Формула радиуса, длина

 

окружность радиус

R - радиус окружности (круга)

h - высота сегмента

L - длина хорды

O - центр круга

α - центральный угол

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

Формула радиуса, хорда

 

Подробности Автор: Сергей Кондратов Опубликовано: 07 сентября 2011 Обновлено: 08 ноября 2017

www-formula.ru

Найти радиус окружности по длине дуги и хорде : Чулан

На одном из форумов попался вопрос, содржащий "школьную" задачку. Дано: Длина дуги части окружности $L$, а длина хорды, на которую опирается эта дуга равна $I$. Найти радиус $R$ окружности.

Вначале, все было хорошо и просто. Провел радиус из центра $O$ к концу дуги $OA=R$, а так же радиус, перпендикулярный хорде$AB$, который пересек хорду в точке $K$, образуя прямоугольный треугольник $OKA$. Катет $AK=I/2$. Угол при вершине O обозначил как $x$. По определению синуса получил, что $I/2=R*sin(x)$ или $I=2*R*sin(x)$ (1)А из формулы длины дуги, получил $L=2*x*R$ или $2*R=L/x$ (2) (2x потому, что $x$ - половина центрального угла рассматирваемой дуги).

Подстставляем в (1) вместо $2*R$ выражение, полученное из (2): $I=(L/x)*sin(x)$ или$sin(x)/x = k$, где $k=I/L$

Ну, вот тут и заминочка вышла. Как найти $x$ по заданному $k$?На практике, конечно нет проблем. В зависимости от точности либо найти значение графически, либо использовать один из приближенных методов. Но возникает вопрос, есть ли аналитическое решение? Т.е. можно ли выразить $x$ через элементарные функции от $k$. Причем, функция интересует нас только при $x$ от 0 до пи.

Есть предположение, что это невозможно. Так ли это? Можно ли это доказать?

dxdy.ru

Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

Изначально это выглядит так:

сегмент окружности, его хорда и высота

 

Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье "Расчет арочной перемычки", поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

tg(a/4) = 2Н/L (278.1.2)

тогда

а/4 = arctg(2H/L)

R = H/(1 - cos(a/2)) (278.1.3)

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад - для того, чтобы напомнить формулы - есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше - то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

нахождение центра дуги методом последовательных приближений

Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

определение центра дуги, как это выглядит

Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

doctorlom.com

Найти радиус - Учеба и наука

ВОПРОС:

Здравствуйте! Можно ли найти радиус окружности по длине хорды и дуги? или нужны дополнительные данные?

            ОТВЕТ:

Ничего дополнительного не нужно, решение задачи изложено ниже.

            РЕШЕНИЕ:

Разделим исходный сектор круга, ограниченного центром круга и концами хорды, на два одинаковых, проведя биссектрису центрального угла. Будем рассматривать далее один из них (любой из двух полученных) и соответствующий прямоугольный треугольник (с вершинами в центре круга, одним из концов хорды и её серединой).

Пусть, далее, α – острый угол этого треугольника с вершиной в центре круга, a – длина противолежащей стороны (катета) этого треугольника, b — длины соответствующей дуги окружности, r – её радиус (искомый). Отметим также, что a и b – заданные величины, равные половине длин исходных хорды и дуги соответственно.

Тогда, очевидно (из чисто геометрического рассмотрения), имеем:

 

αr = b                                                                     (1)

a/r = sin α                                                                (2)

 

            Это, по сути, запись двух определений: (1) – для длины дуги, (2) – для синуса угла. Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными (α и r). Явного (аналитического) решения она не имеет – возможно лишь численное решение (которое существует и единственно). Решать эту задачу в каждом конкретном случае – при заданных численных значениях a и b (точнее, как отмечено выше, – 2a и 2b) – можно двумя способами: «школьным» (геометрическим) и каким-либо численным методом.

 

                        «Школьный» метод:

            После несложных преобразований уравнения (1) и (2) можно переписать, например, в виде:

 

r = b/α                                                                   (1')

kα = sin α ,                                                              (2')

 

где  k = a/b. После этого строим графики функций  f1(α) = kα,  f2(α) = sin α  и находим точку их пересечения, что соответствует решению уравнения (2').

Отметим, что это пересечение (т.е. решение задачи) существует и единственно (и находится «недалеко» от начала координат): оба графика проходят через начало координат, причем второй (синусоида) выходит из начала координат под углом π/4 (=45o), первый (прямая) – под меньшим углом (поскольку  k = a/b < 1, т.к. a < b  –  хорда должна быть короче дуги).

Таким образом, из графика находим  α, а затем, используя уравнение (1'), и искомое значение радиуса  r.

 

            Численный метод:

Типичное численное решение такой задачи – каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона: дифференцируем и линеаризуем (по α)  уравнение (2'), задаём какое-нибудь начальное приближение αo для α (наиболее логично и просто взять αo = 0) и дальше итерационно находим решение α = α* с любой наперед заданной точностью. Далее, подставляя в уравнение (1') найденное значение угла α*, находим искомое значение радиуса r.

Можно чуть по-другому – чтобы сразу решать уравнение (задачу) относительно радиуса r (без промежуточного нахождения угла α = α*). Для этого, например, просто подставляем из (1) (или из (1'))  выражение для угла  α = b/r  в уравнение (2'), получив тогда уравнение относительно переменной r.

Далее также как и выше дифференцируем, линеаризуем (но уже не по α, а по r) и решаем полученное уравнение и задачу в целом.

   

www.liveexpert.ru

Как найти длину хорды окружности

Чтобы разобраться, как найти длину хорды окружности, сначала вспомним — что такое хорда.Хордой называют отрезок, который соединяет две произвольные точки, расположенные на окружности.Диаметр также можно назвать хордой, причем самой большой длины для заданной окружности. Отличие диаметра от всех других хорд в окружности в том, что он проходит через ее центр.

Рассмотрим формулу для вычисления длины хорды:

    \[dlina.hordi=2\cdot radius\cdot {\sin \left(\frac{central'niy.ugol}{2}\right)\ }.\]

Задача.Найти длину хорды окружности с радиусом 15 см, если угол между хордой и радиусом равен 45 градусов.

Решение.Построим окружность с центром в точке О. Проведем в ней хорду АВ и радиусы ОА и ОВ к концам этой хорды.Треугольник АОВ — равнобедренный с равными сторонами ОА и ОВ (равны длине радиуса):АО = ВО = radius = 15 см.Следовательно, углы при основании АВ этого треугольника равны:Угол ОАВ = ОВА = 45 градусов.Поскольку сумма углов любого треугольника равна т180 градусов, то:Угол АОВ = 180 — (ОАВ + ОВА) = 180 — (45 + 45) = 180 — 90 = 90 градусов.Подставим известные значения в формулу для дины хорды:

    \[dlina.hordi=2\cdot radius\cdot {\sin \left(\frac{central'niy.ugol}{2}\right)\ };\]

    \[AB=2\cdot 15\cdot {\sin \left(\frac{90{}^\circ }{2}\right)\ };\]

    \[AB=30\cdot {\sin 45{}^\circ \ };\]

    \[AB=30\cdot \frac{\sqrt{2}}{2};\]

AB=15\sqrt{2} (см)

Ответ. 15\sqrt{2} (см).

ru.solverbook.com