Алгебра. Урок 5. Графики функций. Как решать график функции


Алгебра. Урок 5. Графики функций

 

Содержание страницы:

 

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) — горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) — вертикальная ось.

декартова система координат

 

Функция — это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

 

Линейная функция – функция вида y=ax+b где a и b — любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:

 

Если a>0, прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b — точка пересечения прямой с осью y.

График линейной функции, a < 0

 

Если a<0, прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b — точка пересечения прямой с осью y.

График линейной функции, a > 0

 

Если a=0, фукция принимает вид y=b.

График линейной функции y = b

 

Отдельно выделим график уравнения x=a.

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

График уравнения x = a

 

Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a,b,c:

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a>0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a<0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
  2. Коэффициент b помогает найти xв — координату вершины параболы.

xв=−b2a

  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D>0 — две точки пересечения.
  • Если D=0 — одна точка пересечения.
  • Если D<0 — нет точек пересечения.

 

Графиком функции y=kx является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k>0, то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Гипербола

Если k  <  0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Гипербола

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y.

ГиперболаГипербола

 

Функция y  =  x имеет следующий график:

График квадратного корня

 

Функция y = f(x)возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Возрастающие функции

Функция y = f(x)убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Убывающие функции

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Наибольшее значение функции

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Наименьшее значение функции

 

 

Скачать домашнее задание к уроку 5.

 

epmat.ru

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.Итак.

Функция вида y=ax^2+bx+c, где a<>0  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с  - свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2, составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax^2+bx+c нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b^2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если D>0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет две точки пересечения с осью ОХ:

x_1={-b+sqrt{D}}/{2a},  x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:

 

x_0=-{b/{2a}}

y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой y=ax^2+bx+c.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции y=2x^2+3x-5

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x^2+3x-5

D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0  sqrt{D}=7

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 2x^2+3x-5=0

x_1={-3+7}/4=1,  x_1={-3-7}/4=-2,5

3.   Координаты  вершины параболы:

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

y=2x^2+3x-5

Кррдинаты вершины параболы

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=a(x-x_0)^2+y_0 - в этом уравнении x_0;y_0 - координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции y=ax^2+bx+c a=1, и второй коэффициент - четное число.

Построим для примера график функции y=2(x-1)^2+4.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции y=x^2,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции y=x^2+4x+5. В уравнении этой функции a=1, и второй коэффициент - четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: x^2+4x+5=x^2+4x+4-4+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1

Следовательно,  координаты вершины параболы: x_0=-2, y_0=1. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда x_1=2; x_2=-1

2. Координаты вершины параболы: x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2

y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.Подвигайте движки.Исследуйте зависимость- ширины графика функции от значения коэффициента ,- сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

- сдвига графика функции вдоль оси от значения  - направления ветвей параболы от знака коэффициента - координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Функции и графики - Математика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению...

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Формула Длина отрезка на координатной оси

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Формула Длина отрезка на координатной плоскости

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Формула Длина отрезка в трёхмерной системе координат

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости - первые две формулы, для трехмерной системы координат - все три формулы) вычисляются по формулам:

Формула Координаты середины отрезка

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Формула четной функции

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Формула нечетной функции

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

К оглавлению...

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

Формула линейной функции

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График линейной функции

 

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению...

График параболы задается квадратичной функцией:

Формула Квадратичная функция

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

Квадратичная функция или Парабола

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p - на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Формула Икс вершины параболы

Игрек вершины (q - на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Формула Игрек вершины параболы

 

Графики других функций

К оглавлению...

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Формула степенной функции

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

График степенной функции

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

Формула обратно пропорциональной зависимости

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

График обратно пропорциональной зависимости

Асимптота - это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

Формула показательной функции

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

График показательной функции

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

Формула логарифмической функции

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График логарифмической функции

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Формула функции модуля

График функции модуля

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению...

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

Формула периодической функции

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Период периодической функции

Большинство примеров периодических функций - это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

Формула функции y = sinx

График синусоиды

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

Формула функции y = cosx

График косинусоиды

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Формула функции y = tgx

График тангенсоиды

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Формула функции y = ctgx

График котангенсоиды

educon.by

Построить график функции y=f(x). Исследование функции онлайн.

Введите график функции

Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом - если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

Примеры

С применением степени(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Исследование графика функции

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

  • Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
  • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
  • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
  • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
  • Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
  • Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
  • Наклонные асимптоты графика функции: Да
  • Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от xarccosh(x) Арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Арксинус от xarcsinh(x) Арксинус гиперболический от xarctg(x) Функция - арктангенс от xarctgh(x) Арктангенс гиперболический от xee число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от xcos(x) Функция - Косинус от xsinh(x) Функция - Синус гиперболический от xcosh(x) Функция - Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция - квадратный корень из xsqr(x) или x^2 Функция - Квадрат xtg(x) Функция - Тангенс от xtgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от xcbrt(x) Функция - кубический корень из xfloor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак xerf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как решать графики функций | Сделай все сам

Решать графики — задача крайне увлекательная, но достаточно сложная. Дабы особенно верно возвести график, комфортнее пользоваться дальнейшим алгорифмом изыскания функции.

Вам понадобится

  • Линейка, карандаш, ластик

Инструкция

1. Для начала обозначьте область определения функции — уйма всех возможных значений переменной.

2. Дальше для упрощения построения графика установите, является ли функция четной, нечетной либо индифферентной. График четной функции будет симметричен касательно оси ординат, нечетной функции — касательно начала координат. Следственно для построения таких графиков довольно будет изобразить их, скажем, в правильной полуплоскости, а оставшуюся часть отобразить симметрично.

3. На дальнейшем шаге обнаружьте асимптоты. Они бывают 2-х видов — вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты ищите в точках обрыва функции и на концах области определения. Наклонные ищите, обнаружив угловой и вольный показатели в формуле линейной зависимости.

4. Дальше установите экстремумы функции — максимумы и минимумы. Для этого надобно обнаружить производную функции, после этого обнаружить ее область определения и приравнять к нулю. В полученных изолированных точках определите присутствие экстремума.

5. Определите поведение графика функции с точки зрения монотонности на всяком из полученных интервалов. Для этого довольно посмотреть на знак производной. Если производная правильна, то функция вырастает, если негативна — убывает.

6. Для больше точного изыскания функции обнаружьте точки перегиба и промежутки выпуклости функции. Для этого используйте вторую производную функции. Обнаружьте ее область определения, приравняйте к нулю и определите присутствие перегиба в полученных изолированных точках. Выпуклость графика определите, изучая знак 2-й производной на всяком из полученных промежутков. Функция будет выпукла вверх, если вторая производная негативна, и выпукла вниз — если правильна.

7. Дальше обнаружьте точки пересечения графика функции с осями координат и добавочные точки. Они потребуются для больше точного построения графика.

8. Построение графика. Начать следует с изображения осей координат, обозначения области определения и изображения асимптот. Дальше нанесите экстремумы и точки перегиба. Подметьте точки пересечения с осями координат и добавочные точки. После этого плавной линией объедините подмеченные точки в соответствии с направлениями выпуклости и монотонностью.

Полезный совет Асимптоты отличнее изображать пунктиром.

jprosto.ru


Смотрите также