Алгоритм умножения матрицы на вектор. Как умножить вектор на матрицу


Умножение матрицы на вектор, формула и примеры

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

    \[A \cdot B =\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{1n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a_{11}\cdot b_{1}+a_{12}\cdot b_{2}+\ldots +a_{1n}\cdot b_{n} \\ a_{21}\cdot b_{1}+a_{22}\cdot b_{2}+\ldots +a_{2n}\cdot b_{n} \\ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \\ a_{m1}\cdot b_{1}+a_{m2}\cdot b_{2}+\ldots +a_{mn}\cdot b_{n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \ldots \\ c_{1m} \\ \end{matrix} \right)\]

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

    \[ A \cdot B =\left( \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \ldots \\ a_{n} \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( b_{1}\quad b_{2}\quad \ldots \quad b_{n} \right)=\left( \begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1}\quad a_{1}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{1}\cdot b_{n} \\ a_{2}\cdot b_{1}\quad a_{2}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{2}\cdot b_{n} \\ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \\ a_{n}\cdot b_{1}\quad a_{n}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{n}\cdot b_{n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\ \end{matrix} \right)\]

Примеры умножения матриц на вектора

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как умножить вектор на матрицу

Содержание

  1. Инструкция

Как умножить вектор на матрицу

В теории матриц вектором называется матрица, имеющая только один столбец или только одну строку. Умножение такого вектора на другую матрицу происходит по общим правилам, однако имеет и свои особенности.

Инструкция

  • По определению произведения матриц умножение возможно только в том случае, если количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. Следовательно, вектор-строку удастся умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке. Аналогично, вектор-столбец можно умножить только на матрицу, в которой столько же столбцов, сколько элементов в вектор-столбце.
  • Умножение матриц некоммутативно, то есть если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.
  • Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны:[b11, b12, b13, … b1m;b21, b22, b23, … b2m;…bn1, bn2, bn3, … bnm].
  • Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m).Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.
  • Аналогично, если задана матрица A размерности m*n и вектор-столбец B размерности n*1, то их произведение будет вектором-столбцом размерности m*1, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов вектора-столбца B на соответствующие им элементы i-той строки матрицы A.
  • Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов:c = ∑ai*bi (i = 1 … n).Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.
  • Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются:Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n).Такая матрица называется внешним произведением векторов.

completerepair.ru

умножение матрицы на вектор | C++ для приматов

Даны квадратная матрица [latex]A[/latex] порядка [latex]n[/latex], векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] с [latex]n[/latex] элементами. Получить вектор [latex]A(x+y)[/latex].

Примеры:

Размерность матрицы Матрица Вектор x Вектор y Результирующий вектор A(x+y)
2 2 3

3 2

3 4 5 6 46 44
 3  2 1 4

5 2 6

3 4 8

 2 2 2  4 4 4  42 78 90
 4  1 2 3 4

3 4 1 6

2 3 8 1

4 5 0 8

 1 2 3 4  5 4 3 2  60 84 84 102
 5

 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

 4 6 7 8 0  2 8 9 3 1  0 0 16 0 0

Алгоритм решения: Вводим матрицу [latex]A[/latex] порядка [latex]n[/latex]. Вводим векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], прибавляем векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]. После умножаем матрицу [latex]A[/latex] на вектор [latex]x + y[/latex] и получаем вектор [latex]A(x + y)[/latex]. С помощью цикла выводим результирующий вектор.

Код программы :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

int x[n];

int y[n];

int z[n];

int A[n][n];

int result_vector[n];

for (int i = 0; i < n; i++){

for (int j = 0; j < n; j++)

cin >> A[i][j];

}

for (int i = 0; i < n; i++){

cin>>x[i];

}

for (int i = 0; i < n; i++){

cin>>y[i];

}

for (int i = 0; i < n; i++){

z[i]=x[i]+y[i];            

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

result_vector[i]=0;

for(int j=0; j<n; j++)

{

result_vector[i]+=A[i][j]*z[j];  

}

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

cout << result_vector[i] << endl;

}

return 0;

}

Оригинал кода можно увидеть перейдя по ссылке

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int n;

Scanner in = new Scanner(System.in);

n = in.nextInt();

double []x = new double[n];

double []y = new double[n];

double []z = new double[n];

double [] result_vector = new double[n];

double [][] A = new double[n][n];

for (int i = 0; i < n; i++){

for (int j = 0; j < n; j++){

A[i][j]=in.nextDouble();

}

}

for (int i = 0; i < n; i++){

x[i]=in.nextDouble();

}

for (int i = 0; i < n; i++){

y[i]=in.nextDouble();

}

for (int i = 0; i < n; i++){

z[i]=x[i]+y[i];            

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

result_vector[i]=0;

for(int j=0; j<n; j++)

{

result_vector[i]+=A[i][j]*z[j];  

}

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

System.out.printf("%.6f ",result_vector[i]);

}

}

}

Оригинал кода можно увидеть перейдя по ссылка

Posted in 6. Многомерные массивы. Tagged умножение матрицы на вектор.

Задача.  Дана квадратная матрица порядка n. Получить вектор  Ab, где b-вектор, элементы которого вычисляются по формулам:

[latex]b_{i}=\begin{cases}\frac{1}{i^{2}+2} & \text{, if i mod 2=0} \\ \frac{1}{i} & \text{, other case } \end{cases}[/latex]

i=(1,…,n).

Тесты:

Вход Выход Комментарий
41 2 1 11 3 6 91 2 1 11 6 3 18 1.72222 4 1.72222 4 Пройден
30 0 01 1 12 2 2 0 1.5 3 Пройден
41 2 2 93 4 1 181 1 1 10 0 0 0 2.5 5 1.55556 0 Пройден

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

#include <iostream>

using namespace std;

 

int main()

{

int n;

cin>>n;

double b[n];

for (int i=0; i<n; i++)

{

            if((i+1)%2==0) b[i]=1.0/((i+1)*(i+1) + 2);

    else b[i]=1.0/(i+1);

        }

 

double A[n][n];

for (int i=0; i<n; i++)

    for (int j=0; j<n; j++)

        cin>>A[i][j];

        double Ab[n];

        for (int i=0; i<n; i++)

        {  

        Ab[i]=0;

        for (int j=0; j<n; j++)

        {

     Ab[i]+=A[i][j]*b[j];

        }

        }

        for (int i=0; i<n; i++)

        cout<<Ab[i]<<" ";

return 0;

}

Решение:

Согласно условию находим вектор b. По формуле [latex]Ab_{i}=\sum_{j=1}^{n}A_{ij}b_{j}[/latex], i=(0,…,n) находим произведение матрицы на вектор.

С работой программы можно ознакомится здесь.

Posted in 6. Многомерные массивы. Tagged квадратная матрица, умножение матрицы на вектор.

cpp.mazurok.com

Умножение векторов и матриц на число.

Произведением матрицы на числоС называется матрица тех же размеров, у которой. Это правило справедливо и для векторов.

Для записи в рабочий лист необходимо напечатать «число»* «имя

вектора(матрицы)» = (равно).

      1. Умножение векторов и матриц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеромназывается матрицаразмером, у которой .Для квадратных матриц .

Для записи оператора умножения матриц можно напечатать A[Shift]*B=(равно) или воспользоваться оператором Dot Product – скалярное произведение матричной панели Matrix.

Для векторов определены два типа умножения:

- скалярное умножение (Dot Product) , результатом которого является число, и

- векторное произведение (Cross Product) , результатом которого является новый вектор.

На рабочем листе скалярное произведение векторов записывается точно так же, как и для матриц.

Векторное произведение векторов требует обращения к панели Matrix, для чего нужно щёлкнуть мышью опцию и заполнить шаблон. Векторы –множители должны быть 3-хмерными.

      1. Транспонирование векторов и матриц.

Транспонирование – преобразование матрицы, при котором столбцы исходной матрицы становятся строками:

Транспонирование вектора - столбца приводит к замене его вектором - строкой той же размерности:

Примеры основных действий с векторами приведены на рис. 3.11. Об использованиии функций Mathcad, например, svds(v) , last(v) сказано ниже.

Рис. 3.11. Пример операций с векторами.

3.2.5. Обратная матрица. Определитель матрицы.

Матрица называется обратной для матрицыА , если , гдеЕ - единичная матрица.

Для квадратной матрицыА обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель, составленный из элементов прямой матрицы, отличен от нуля, т.е. . Определители прямой и обратной матриц связаны соотношением:.

Рис. 3.12. Примеры действий с матрицами.

Определитель(детерминант) квадратной матрицы - число(обозначение), характеризующее свойства матрицы. Вычисление определителя матрицы вручную – трудоёмкий процесс.

В Mathcad имеются две возможности вычисления определителя.

Если элементами матрицы являются числа, то нужно на панели Matrix щёлкнуть мышью знак «Determinant», напечатать в открывшемся шаблоне имя матрицы и напечатать =(равно) для просмотра результата.

В том случае, когда элементами матрицы являются идентификаторы нужно так же ввести шаблон определителя, заполнить его и щёлкнуть мышью символический знак равенства (левая стрелка) на панели Symbolic(символьные вычисления) для отображения результата в символьной форме (рис. 3.12).

3.2.6. Оператор vectorize.

В Mathcad есть один оператор множества называемый оператором векторизации (vectorize), который особенно полезен для многократного выполнения одинаковых вычислений.

Рис. 3.13. Примеры записи оператора векторизации.

Введение этого оператора устраняет противоречие, связанное со скалярным произведением векторов. Сущность этого противоречия состоит в следующем. Если, например, вектор умножается скалярно на число, то получается новый вектор, каждый элемент которого умножен на это число, но если скалярно умножается тот же вектор сам на себя, то результатом будет число, равное сумме квадратов элементов вектора, а не вектор.

Оператор векторизации же, в отличие от скалярного произведения, производит умножение каждого элемента vk (k=1…n) вектора V на элемент с тем же номером (с тем же индексом) другого или того же вектора, производя новый вектор такой же длины n.

Ввести оператор vectorize можно двумя способами:

- напечатать Ctrl – (минус) «имя первого операнда»[Shift]* «имя второго операнда» = (равно) и щёлкнуть левой кнопкой мыши;

- щёлкнуть мышью опцию « f(M) » на матричной панели Matrix и выполнить те же действия, что и выше.

Операндами оператора векторизации могут быть и матрицы одинаковой размерности. Например, если напечатать M*M [пробел] [Ctrl] –(минус) = (равно), то получается новая квадратная матрица той же размерности, элементы которой равны произведению каждого элемента матрицы М на самого себя.

Примечание: Число операндов в операторе vectorize может быть любым, не обязательно равным двум.

studfiles.net

Алгоритм умножения матрицы на вектор

Алгоритм умножения матрицы (для простоты возьмем квадратную матрицу) размерности на вектор размерности можно представить как скалярных умножений векторов, получающихся из строк матрицы на вектор . Если строки матрицы слоистым образом распределены по процессорам и вектор хранится на каждом процессоре, то параллельный алгоритм можно записать следующим образом:

Шаг 1: на

Шаг 2: на

Шаг 3:

На втором шаге на каждом процессоре параллельно вычисляются соответствующие блоки результирующего вектора , затем (если это необходимо) на третьем шаге они пересылаются на первый процессор.

Предположим, что столбцы матрицы распределены слоистым  образом по процессорам. В этом случае необходимо модифицировать алгоритм с учетом хранения матрицы. Результат матрично-векторного произведения можно получить, умножив каждый столбец матрицы на соответствующий элемент вектора и сложив получившиеся вектора. Степень параллелизма этого алгоритма меньше, чем в предыдущем, и обусловлена тем, что приходится осуществлять суммирование.

Условно, по шагам алгоритм записывается следующим образом:

Шаг 1: на

Шаг 2: на

Шаг 3: на

Шаг 4:

Шаг 5: на

На втором шаге осуществляется покомпонентное умножение векторов, на третьем – частичное суммирование, на четвертом – пересылка частичных сумм на первый процессор, на последнем – завершающее суммирование.

Матрично-векторное умножение обычно является частью более широкого процесса вычислений и для выбора того или иного алгоритма главную роль играет способ хранения и в момент, когда требуется их произведение. Например, если и уже находятся в памяти -го процессора, то эффективнее использовать второй алгоритм, хотя степень параллелизма в нем ниже, чем в первом. Еще один важный фактор при выборе параллельного алгоритма - желаемое расположение результата по окончании операции умножения: во втором алгоритме вектор-результат размещается в памяти одного процессора, тогда как в первом он распределен по процессорам.

program EXAMPLE

include 'mpif.h'

integer my_id, np, comm, tag, count, ierr, n,q

integer i,j,k

integer a(100,100),b(100)

integer c(100,100),a1(100,100),a2(100,100)

integer status(MPI_STATUS_SIZE)

double precision t1,tfinish

call MPI_Init(ierr)

comm=MPI_COMM_WORLD

call MPI_Comm_rank(COMM, my_id, ierr)

call MPI_Comm_size(COMM, np, ierr)

print *, 'Process ', my_id, ' of ', np, ' is alive'

! Инициализация матриц

t1=MPI_Wtime()

call MPI_Bcast(n,1,MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

call MPI_Bcast(b,n,MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

call MPI_Scatter(a,int(n*n/np),MPI_INTEGER,a1,

* int(n*n/np),MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

c=0

do j=1,n,1

do i=1,int(n/np),1

do k=1,n,1

c(i+int(n/np)*my_id,j)=

*c(i+int(n/np)*my_id,j)+a1(k,i)*b(k)

end do

end do

end do

call MPI_Reduce(c,a2,n*n,MPI_INTEGER,MPI_SUM,

*0, COMM,ierr)

t1=MPI_Wtime()-t1

write(*,*) 'Dim = ',n,' the time is ',t1

call MPI_Finalize(ierr)

stop

end

Задание: Алгоритм умножения матриц

  1. Реализовать любой вариант параллельного умножения матриц.

Пример:

Приведенные параллельные алгоритмы матрично-векторного произведения естественным образом обобщаются на задачу умножения матриц. Приведенные же ниже алгоритмы будут обсуждаться с точки зрения того, как хранились матрицы до операции произведения и после нее.

Для простоты возьмем квадратные матрицы и размерности .

Первый вариант параллельного алгоритма матричного умножения будем строить, предполагая, что матрица распределена по процессорам слоистым образом по строкам, а матрица - целиком. В этом случае искомый результат можно получить, выполнив параллельно на каждом процессоре скалярных произведений.

Приведем алгоритм:

Шаг 1: на

Шаг 2: на (причем циклы по индексам расположены в следующей последовательности

Шаг 3:

Второй вариант параллельного алгоритма матричного умножения будем строить, предполагая, что матрица распределена по процессорам слоистым образом по столбцам, а матрица - целиком. В этом случае искомый результат можно получить, выполнив параллельно на каждом процессоре умножение соответствующих столбцов матрицы на соответствующие элементы строк матрицы , затем необходимо осуществить частичное суммирование получившихся произведений и на последнем шаге, переслав матрицы с частичными суммами на один процессор, закончить суммирование. Алгоритм опустим ввиду его громоздкости и очевидности.

Возможные способы хранения исходных матриц порождают другие алгоритмы. Например, матрица распределена по процессорам слоистым образом по строкам, а матрица - целиком, или распределена по процессорам слоистым образом по столбцам, а - целиком. Алгоритмы при этом схожи с рассмотренными выше.

Возможно также построение алгоритмов, которые основаны на блочном распределении матриц и по процессорам.

Если разбиения обеих матриц на блоки согласованы, то

,

где или - миноры соответствующих матриц. Это представление можно реализовать разными алгоритмами. Пусть, например, число процессоров равно (числу миноров матрицы . При условии, что матрицы и распределены соответствующим образом по процессорам, все миноры матрицы можно вычислять одновременно.

studfiles.net

Умножение комплексного вектора на матрицу

Результат умножения вектора-строки на матрицу с*A
Результат умножения
Результат умножения матрицы на вектор-столбец A*b
Результат умножения

Умножение Вектора на матрицу

Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу - вектор-строкой.

Если A-матрица размера m*n, то вектор столбец b имеет размер n, а вектор строка b имеет размер m.

Таким образом, что бы умножить матрицу на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу, его нужно рассматривать как вектор -строку.

Пример.

Умножить матрицу

\begin{pmatrix} 1+2i & 2+i & 1+3i \\ 2 & 4+2i & 2+5i \end{pmatrix} 

на комплексный вектор

\begin{pmatrix} 2+2i \\ 1+4i \\ 2+2i \end{pmatrix} 

Получаем результат

Результат умножения матрицы на вектор A*b
Результат умножения вектора на матрицу b*A

 

Как видите при неизменной размерности вектора, у нас могут существовать два решения.

Хотелось бы обратить Ваше внимание на то что матрица в первом и втором варианте, несмотря на одинаковые значения, совершенно разные (имеют различную размерность)

 

В первом случае вектор считается как столбец и тогда необходимо  умножать матрицу на вектор, а во втором случае у нас вектор-строка и тогда у нас произведение вектора на матрицу.

 

 

Свойства умножения матрицы на вектор

 - матрица   - вектор столбец   - вектор-строка  - произвольное число

1. Произведение матрицы на сумму векторов-столбцов равна сумме произведений матрицы на каждый из векторов

A(b_1+b_2)=Ab_1+Ab_2

2. Произведение суммы векторов-строк на матрицу  равна сумме произведений векторов на матрицу

3. Общий множитель вектора  можно вынести за пределы произведения матрицы на вектор/вектора на матрицу

4.Произведение вектора-строки на произведение матрицы и вектора столбца, равноценно произведению произведения вектора-строки на матрицу и вектора-столбца.

c(Ab)=(cA)b

 

Удачных расчетов!!

 

  • Умножение матриц с комплексными значениями онлайн >>

www.abakbot.ru

Умножение вектора на матрицу — КиберПедия

По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):

для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):

Вектор-строка, матрица и вектор столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):

(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).

Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных форм.

  • При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (т.е. один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка - в базисе, дуальном основному [4] (Иногда о пространстве векторов-строк говорят также как об особом, дуальном пространству векторов-столбцов, пространстве ковекторов).

Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь еще раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к .

cyberpedia.su