Урок математики в 5-м классе "Упрощение выражений". Математика упростить выражение


Онлайн упрощение математических выражений с помощью калькулятора

Следующий уникальный калькулятор может упрощать заданное пользователем математическое выражение.

В введенном пользователем выражении можно использовать не только одну переменную ( переменная x), но и целые, и даже дробные числа.

В результате калькулятор выдаст вам не только формулу выражения, но и упрощенное выражение.

The field is not filled.

'%1' is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field '%1'

An invalid character. Valid characters:'%1'.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The '% 1' is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: '%2'. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Как упростить выражение?

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

  1. "Упрощение выражений - Калькулятор Он-лайн"
  2. "Упрощение выражений"
  3. "Упрощение выражений Математика 5 класс Задания"

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без

elhow.ru

Упрощение логических выражений

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики.

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций — “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций “И” и “ИЛИ”.

Переместительный и сочетательный законы выглядят так же, как и в математике. Почти всегда “работает” аналогия с классической алгеброй, нужно только помнить, что в логике $1 + 1 = 1$, а не $2$.

Рисунок 1.

Распределительный закон для дизъюнкции — это просто раскрытие скобок. А вот для конъюнкции выражение незнакомое, и в математике это равенство неверно. Доказательство начинаем с правой части. Раскроем скобки:

$(A+B) \cdot (A+C) = A \cdot A+A \cdot C+B \cdot A+B \cdot C$

Используем закон повторения

$A \cdot A = A$,

Далее $A \cdot A+C \cdot A = A+C \cdot A = A \cdot (1+C)=A \cdot 1 = A$

Аналогично

$A+A \cdot B = A \cdot (1+B) = A \cdot 1=A$, таким образом,

$(A+B) \cdot (A+C) = A+B \cdot C$

Равенство доказано.

Попутно был доказан закон поглощения для операции “И”.

Из распределительного закона следует полезная формула

$A+ \bar{A} \cdot B = (A+ \bar{A}) \cdot (A+B) = A+B$

Замечание 2

Правила, которые позволяют раскрывать инверсию сложных выражений, получили своё название в честь де Моргана, шотландского математика и логика. Важно следующее: “общее” отрицание не просто переходит на отдельные выражения, но и конъюнкция заменяется на дизъюнкцию (и наоборот). Доказать эти правила можно с помощью таблиц истинности.

Большинство законов и аксиом алгебры логики записаны парами. При внимательном изучении пар можно вывести принцип двойственности– если в тождестве произвести взаимные замены операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементы $0$ и $1$, в случае если они имеются, то получим тоже тождество. Такое свойство принято называть принципом двойственности.

Примеры упрощения логических выражений

  1. $(A \cdot B) + (A \cdot \bar{B}) = A \cdot (B + B)= A \cdot 1 = A$

  2. Рисунок 2.

здесь был использовано правило де Моргана для дизъюнкции и закон двойного отрицания, далее вынесли за скобку сомножитель $\bar{X}$, получили в скобках закон исключённого третьего и использовали операцию с константами.

Пример 1

Кто из учеников $A$, $B$, $C$ и $D$ играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если $A$ или $B$ играет, то $C$ не играет;

б) если $B$ не играет, то играют $C$ и $D$;

в) $C$ играет

Решение. Определим следующие простые высказывания:

$A$ — «ученик $A$ играет в шахматы»;

$B$ — «ученик $B$ играет в шахматы»;

$C$ — «ученик $C$ играет в шахматы»;

$D$ — «ученик $D$ играет в шахматы».

С помощью простых высказываний запишем высказывания из условия:

а) ($A + B) → C$;

б) $B → C \cdot D$;

в) $C$.

Составим конъюнкцию записанных сложных высказываний:

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий:

  1. Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
  2. Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
  3. Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

Рисунок 4.

Также можно использовать упрощение логических выражений для нахождения решений логического уравнения.

Пример 3

Требуется найти все решения уравнения

Рисунок 5.

Упрощаем выражение, заменяя импликацию по формуле $А → В = \bar{А} + В$, и получаем

Рисунок 6.

Используем правило де Моргана

$B + C + \bar{A} + \bar{A} \cdot \bar{C} + D = 0$

и закон поглощения

$B + C + \bar{A} + D = 0$

Для того чтобы логическая сумма была равна нулю, каждое слагаемое должно быть равно нулю, поэтому

$A = 1$, $B = 0$, $C = 0$, $D = 0.$

Пример 4

Выполнить преобразование логической функции

Рисунок 7.

Применим последовательно следующие законы алгебры логики: правило де Моргана для конъюнкции, правило де Моргана для дизъюнкции, закон двойного отрицания, закон исключённого третьего, вынос общего множителя за скобки и операцию с константой

Рисунок 8.

spravochnick.ru

Математика для блондинок: Как упростить выражение

Комментарии к этой странице переполнены и у меня нет возможности отвечать. Свои вопросы и пожелания оставляйте здесь.

Вот очередная просьба о спасении утопающего в тригонометрии. Есть набор тригонометрических символов, а что с ними делать - не понятно. Как упростить выражение? Рецепт очень простой - нужно использовать те формулы, которые вы учите сейчас. Или те формулы, которые вы учили когда-то, но напрочь забыли. Вот описание выражений.

Теперь перепишем выражения, которые нужно упростить, в более удобоваримом виде.

Не знаю, как вас, а меня красота математики иногда просто завораживает. Но не в этом случае - не люблю задачи, составленные людьми. Мы с блондинками недавно решали пример на упрощение: под корнем квадратным четыре выражения в скобках перемножаются между собой, каждая скобка содержит сумму из трех тригонометрических функций. Я даже сам сперва испугался такого монстра. Любопытство и вера в мудрость математики победили. Я начал перемножать скобки. Огромное выражение таяло, как снег весной, в результате сокращений. В итоге мы получи произведение двух тригонометрических функций. Даже блондинкам это понравилось: "Вау! Супер!" - так звучал их вердикт.

Процесс упрощения математических выражений очень похож на то, чему учат курсы кройки и шитья. Вырезаем один фрагмент и заменяем его другим. При этом математическими формулами мы пользуемся, как выкройками. Все формулы разрезаются по знаку равенства. Вместо того куска формулы, который присутствует в математическом выражении, мы вставляем другой кусок, который находится с противоположной стороны знака равенства.

Посмотрим на наших примерах, как это делается. Прежде всего, нужно определить, какие именно формулы необходимо использовать для упрощения выражений. В процессе обучения чаще всего используются те формулы, которые вы учили совсем недавно. В повседневной жизни для этих целей используйте справочники. Сейчас мы используем основные тригонометрические тождества.

Вместо квадратов синуса и косинуса ставим единицу в наше выражение. У нас получилось новое тригонометрическое тождество, только угол у нас обозначен по-другому - бетта вместо альфа. В результате наше выражение превращается в единицу, деленную на косинус угла бетта в квадрате. Вместо этого можно записать секанс бетта в квадрате (по определению тригонометрических функций).

Для упрощения второго выражения необходимо немного преобразовать основные тригонометрические тождества. Используем обычные арифметические правила переноса слагаемых и сомножителей из одной части равенства в другую. Зеленые стрелочки справа показывают, из какого тождества получена нужная нам формула. Заменяем котангенс в знаменателе на тангенс в числителе. Мы избавляемся от дроби и получаем тангенс в квадрате. По теореме Пифагора в тригонометрическом виде заменяем единицу минус косинус альфа в квадрате на квадрат синуса альфа. Из определения тригонометрических функций заменяем тангенс на отношение синуса к косинусу. Сокращаем нашу дробь и получаем синус альфа в квадрате.

Как бы математики не гордились своей высшей математикой, но вся она построена на банальной кройке и шитье. Решение дифференциалов, интегралов и прочей ерунды сводится к поиску подходящих формул и преобразовании выражений до удобоваримого вида, которое принято называть "решение". Всё отличие математики высшей от математики обычной заключается в количестве формул, которые используются при решении. В высшей математике их ну очень много.

Если вы научитесь в уме жонглировать основными формулами, если вы научитесь в предлагаемых выражениях видеть куски, содержащие основные формулы, тогда с математикой у вас не будет никаких проблем. Вы будете решать всё, что от вас потребуют. Умение распознавать хорошо замаскированную суть и интуитивное видение решения - это то, что вы получите в результате тренировок по упрощению математических выражений.

Я столько всего пишу о математике, что пора уже собирать разрозненные мысли в одну книгу "Математика для блондинок". Потом можно издать книгу за свой счет и вы получите перевод абстрактной математики на человеческий язык. Как разложить борщ по тригонометрическим функциям? Такое в принципе возможно или нет? Есть ещё масса не менее интересных вопросов, ответы на которые вы сможете получить.

Но проблема заключается в финансировании моей работы над математикой. Если я занят зарабатыванием денег, тогда я не занимаюсь математикой. Если я занимаюсь математикой - я не зарабатываю себе на жизнь. Такова формула жизни. Если вам нужна "Математика для блондинок", тогда окажите мне материальную помощь. Если вы не будете перечислять денег, тогда я с чистой совестью буду заниматься другими делами. А что делать вам? Покупайте оценки у учителей, нанимайте репетиторов или усердно зубрите математику. Так делают все.

www.webstaratel.ru

Урок математики в 5-м классе "Упрощение выражений"

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: формировать у учащихся умение упрощать буквенные выражения на основе распределительного свойства умножения, ввести понятия подобных членов, числового множителя; способствовать формированию детского коллектива, воспитывать самостоятельность, развивать у учащихся интерес к предмету, знакомить учащихся с историей развития математики.

Задачи урокаОбразовательные: обеспечить в ходе урока умение применять распределительное свойство умножения для упрощения буквенных выражений, ввести понятие подобных членов, числового множителя – коэффициента; формировать умение применять распределительное свойство умножения при решении уравнений; продолжить формирование общих учебных умений и навыков: навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, умение работать в парах, умение слушать товарища, отстаивать свою точку зрения, самостоятельность, навыки самоконтроля.Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление, умение связывать изученный материал с новым, анализировать, выделять главное; знакомить учащихся с историей развития математики.

Метод обучения: беседа, самостоятельная работа

Оборудование: иллюстрация, плакат с готовым решением 1 и 2 задания IV этапа, плакат с заданием 2 VI этапа, портрет Франсуа Виета, тесты.

Ход урока

I этап. Организация начала урока.Цель этапа: подготовка к работе на уроке.Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д. Раскрытие общей цели урока.II этап. Актуализация знаний учащихсяЦель этапа: подготовить учащихся к изучению нового материала

Содержание деятельности 1) Вычислите:

а)   30 + 20 .  2 : 20+19

б) 60 + 30 : 3 + 15: 9

в) 100 – 90 . 8 : 20+14 

2) Вычислите, применяя законы арифметических действий:  а) 372 + 2444 + 1628;  б) 156 + 1037 + 2063 + 844;  в) 125 . 53 . 8;  г) 52 . 138 + 48 . 138;  д) 67 . 149 + 149 . 33;  е) 150 . 97 – 57 . 150.

3) Решите уравнение: а) х – 2041 = 3059; б) 289 + у = 301; в) z . 93 = 186; г) 100 : a = 25. 4) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

III этап. Изучение нового материалаЦель этапа: объяснить понятие «упрощение выражения», ввести понятие подобных членов, числового множителя.Содержание деятельности 1) Задача. На столе стоят три вазы с гвоздиками. В первой вазе х гвоздик, во второй – в 2 раза больше, а в третьей – в 3 раза больше, чем в первой. Сколько гвоздик во второй и третьей вазах? 1 ваза – х; 2 ваза – 2 . х 3 ваза – 3 . х Всего во второй и третьей вазах - 2 . х + 3 . х Преобразуем выражение, применяя распределительное свойство умножения 2 . х + 3 . х = х . ( 2 + 3) = х . 5 = 5х Итак, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения 3а + 7а = а(3 + 7) = 10а 27у – 12у = у(27 – 12) = 15у 49х + х = х(49 + 1) = 50х 63b – b = b(63 – 1) = 62b Таким образом, данные выражения мы записали в более простом виде, или, как говорят математики, упростили. Такие преобразования, в результате которых получаются более простые выражения называют упрощением выражений. 2) Рассмотрим выражение 3у. Это произведение числа 3 и буквы у. Говорят, что число 3 – числовой множитель, а буква у – буквенный множитель. Числовой множитель обычно в таких выражениях называют коэффициентом. Упрощая выражения, мы складывали коэффициенты, а буквенный множитель мы оставляли без изменения. Обычно промежуточные записи не делают, а просто пишут 8у – 3у = 5у; 17х + х = 18х. 3) Мы рассмотрели буквенные выражения, у которых одинаковая буквенная часть. Такие выражения называют подобными. А выражение 27х + 7у упростить нельзя, потому что у них буквенная часть разная. 4) Отметим, что распределительный закон умножения верен не только для двух, а для любого числа слагаемых. Далее учащимся предлагается Рисунок,

на которой множитель за скобкой сравнивается с предупредительным официантом, который обслуживает всех клиентов в ограниченном скобками зале. 5) Примеры. Упростить выражение: а) 2(а + 6) + 3(а + 2) = 2а + 12 + 3а + 6 = 5а + 18 б) 3(а + 2b + 4) + 7(2a + 4b +1) = 3a + 6b + 12 + 14a + 28b + 7 = 17a + 34b + 19

IV этап. Первичная проверка понимания новых знаний и способов деятельности.Цель этапа: установление обратной связи между учителем и учениками по вопросам содержания нового учебного материала.

Содержание деятельности 1. Упростите следующие выражения. Назовите в полученных выражениях числовой и буквенный множитель. Как называются эти слагаемые? 27х + 29х 12у + 78у 103а – 87а 12b – b 13z + 2z + z – 5z

2. Упростите выражения 2а + 1 + а + 11 7b – 5b + 13 + 2b + 10 13у – у + х + 2х

3. Какое свойство мы использовали при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражение 17у – 13а? 2у + 1?

V этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Цель этапа: сформировать у учащихся на основе знаний умение упрощать выражения по «образцу»Содержание деятельности 1. Упростить выражение: а) 23а + 37а; д) 27р – 27р; и) 3а + 17 + 3а + 14; б) 4у + 26у; е) 84b – 80b; к) к + 35 + 4к + 26. в) 48х + х; ж) 32q – q; г) у + 56у; з) 1000к – к;

 Учащимся дается время для самостоятельного решения для самостоятельного решения этого задания, а затем по готовым ответам проверяют свое решение.

VI этап. Применение знаний и способов деятельности.Цель этапа: освоение способов деятельности в изменённых условияхСодержание деятельности 1. Решите уравнение: а) 4х + 4х = 424; б) 10к – к = 702; в) 3х + 7х + 18 = 178; г) 6у – 2у + 25 = 65.

2. Далее учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения и расшифровать слово:

    1. 15у – 8у = 714;
    2. 9z + z = 900;
    3. 4к + 5к + к = 1260;
    4. 7z + 6z – 13 = 130.

9

102

100

90

140

12

126

11

с

в

а

и

у

г

е

т

Учащимся показывают портрет Ф. Виета. Франсуа Виет – французский математик. Одним из первых стал числа обозначать буквами. 3. Составьте выражение по условию задачи и упростите получившееся выражение: 1) На книжной полке стояли книги. Из них а книг – сказки, а приключенческих повестей в 5 раз больше. Сколько всего книг на книжной полке? 2) В ящике было у кг яблок, а в мешке в 4 раза больше. На сколько яблок в ящике меньше, чем в мешке? 3) Ниф – Ниф, Нуф – Нуф и Наф - Наф собирали желуди. Ниф – Ниф собрал х желудей, Нуф – Нуф в 3 раза больше,а Наф - Наф в 5 раз больше, чем Ниф – Ниф. Сколько всего желудей собрали три поросенка? 4. Чему равны стороны треугольника АВС, если сторона АС в 3 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 4 см меньше АС, а его периметр равен 24 см?

VII этап. Контроль и самоконтроль знаний и способов деятельности.Цель этапа: получение информации для сравнения достигнутых результатов учебного занятия с первоначально запланированными задачами.

Содержание деятельности: учащимся предлагается тест на 5минут 1. Упростите выражение: 34х – х + 5х а) 39х; б) 38х; в) 37х

 2. В одном мешке было х кг картофеля, а во втором в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля было в двух мешках? а) х; б) 2х; в) 3х; г) 4х.

 3. Вася решил у задач, а Миша – на 4 задачи больше. Сколько задач решили Миша и Вася всего? а) 4у; б) 6у; в) 2у + 4; г) у + 4.

 4. Упростите выражение: 4b + 15 + 3b -10 + b a) 8b + 5; б) 7b + 5; в) 13b; г) 13

 5. Даны два выражения: 9(856 + 342) и 9 .856 + 8 . 856. Какое из выражений больше? а) равны; б) первое; в) второе.

Далее учащимся предлагается обменяться тетрадями и проверить тесты по готовым ответам на доске. Учащиеся выставляют друг другу оценки. Ответы.

№ задания

1

2

3

4

5

Ответ

б

в

в

а

б

VII этап. Подведение итогов урока.VIII этап. Домашнее задание: учащимся раздаются карточки с домашним заданием

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Упрощение выражений - СПИШИ У АНТОШКИ

 Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений

Правила упрощения выражений

Для того чтобы упро­стить вы­ра­же­ние, его необ­хо­ди­мо за­ме­нить на эк­ви­ва­лент­ное (рав­ное).

Для опре­де­ле­ния эк­ви­ва­лент­но­го вы­ра­же­ния необ­хо­ди­мо:

1) вы­пол­нить все воз­мож­ные дей­ствия,

2) поль­зо­вать­ся свой­ства­ми сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний.

Рассмотрим два выражения:

( 3 + 4 ) • 5 и 3 • 5 + 4 • 5

Оба выражения равны 35 :

( 3 + 4 ) • 5 = 7 • 5 = 35 ; 

3 • 5 + 4 • 5 = 15 + 20   = 35.

Получается, что:

( 3 + 4 ) • 5 = 3 • 5 + 4 • 5.

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.Это правило называется распределительным свойством умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так: ( a + b ) • c = a • c + b • c .

Например: 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640

Также это правило применимо к разности, умноженной на число: ( a – b ) • c = a • c – b • c ,

и называется оно распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Например: ( 5 – 3 ) • 7 = 5 • 7 – 3 • 7

Используя распределительное свойство умножения можно упрощать буквенные выражения. 

Например: 3a + 5a = 3 • a + 5 • a = ( 3 + 5 ) • a = 8a ;

Также для упрощения выражений можно применять сочетательное свойство умножения:

3х • 4 • 5 = ( 3 • 4 • 5 ) • х = 60х 

2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab

www.spishy-u-antoshki.ru

С1 ГИА по математике - упрощение выражений. Сокращение дробей

В этой статье рассмотрим упрощение выражений, а также и сокращение дробей, числители и знаменатели которых состоят из буквенных выражений. Как правило, в таких выражениях нужно поискать формулы сокращенного умножения – они сильно облегчают жизнь. Тем не менее, встречаются и такие задания, где подстановка значения неизвестной без предварительного упрощения делает решение даже проще. Рассмотрим несколько примеров.

1. Найдите значение выражения при a=1/3:

1/a-{a^2-25}/{5a}+a/5

Имеем сумму дробей, и очевидно, что необходимо все привести к общему знаменателю, который равен 5a:

5/{5a}-{a^2-25}/{5a}+{a^2}/{5a}={30}/{5a}=6/a

Можем произвести подстановку:

6/a=6*3=18

Ответ: 18

2. Найдите значение выражения при  a=5, b=sqrt{3}:

{2a}/{4a^2-10ab}-{5b}/{4a^2-25b^2}

В знаменателе второй дроби – разность квадратов, а в знаменателе первой можно вынести за скобки общий множитель:

{2a}/{2a(2a-5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}

Приводим к общему знаменателю:

1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=(2a+5b)/{(2a-5b)(2a+5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}={2a}/{4a^2-25b^2}

Теперь пришло время сделать подстановку:

{2a}/{4a^2-25b^2}=10/{4*25-25*3}=10/25=40/100=0.4

Ответ: 0,4

3. Найдите значение выражения при  c=-1:

(4/{5c}+{5c}/4+2)*{4c}/{5c+4}

Здесь как раз тот случай, когда вычислительные затраты меньше при непосредственной подстановке без предварительного упрощения выражения:

(4/{5(-1)}+{5(-1)}/4+2)*{4(-1)}/{5(-1)+4}=(-0.8-1.25+2)*4=-0.05*4=-0.2

Ответ: -0,2

4. Найдите значение выражения при  a=sqrt{5}, b=sqrt{180}:

{(a+b)^2/{a^3-a^2b-ab^2+b^3}}:{1/{a-b}}

Упростим выражение:

{(a+b)^2/{a^3+b^3-a^2b-ab^2}}*(a-b)={{(a+b)^2}/{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}}*(a-b)=

={(a+b)/{(a^2-ab+b^2)-ab}}*(a-b)={(a+b)/{(a-b)^2}}*(a-b)={a+b}/{a-b}

Сделаем подстановку:

{a+b}/{a-b}={sqrt{5}+sqrt{180}}/{sqrt{5}-sqrt{180}}={sqrt{5}+sqrt{9*4*5}}/{sqrt{5}-sqrt{9*4*5}}={sqrt{5}+6sqrt{5}}/{sqrt{5}-6sqrt{5}}={7sqrt{5}}/(-5sqrt{5})=-1.4

Ответ: -1,4

5. Сократите дробь:

{(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}

В числителе присутствуют как разность квадратов, так и квадрат разности. В знаменателе – разность кубов и разность квадратов. Разложим на “простые кирпичики” каждую из “сборок”:

{(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}={(t-1)^2(t-2)(t+2)}/{(t-2)(t^2+2t+4)(t+1)(t-1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}

6. Выполните умножение:

({81u}/v+{4v}/{u}+36)*{{uv}/{2v+9u}}

Приведем к общему знаменателю (uv) выражение в первой скобке:

({81u^2}/{uv}+{4v^2}/{uv}+{36uv}/{uv})*{{uv}/{2v+9u}}=

({81u^2+4v^2+36uv}/{uv})*{{uv}/{2v+9u}}={81u^2+4v^2+36uv}/{2v+9u}={(9u+2v)^2}/{2v+9u}=2v+9u

7. Найдите значение выражения:

(4u-12v+{9v^2}/u):(2-{3v}/u) при u=1+3sqrt{7};v=2+2sqrt{7}

Приведем к общему знаменателю каждую из скобок:

({4u^2}/u-{12vu}/u+{9v^2}/u):({2u}/u-{3v}/u)=({4u^2-12vu+9v^2}/u):({2u-3v}/u)={{(2u-3v)^2}/u}*{u/{2u-3v}}=2u-3v

Сделаем подстановку:

2u-3v=2(1+3sqrt{7})-3(2+2sqrt{7})=2+6sqrt{7}-6-6sqrt{7}=-4

Ответ: -4

easy-physic.ru