1. Соотношение между углами и сторонами треугольника. Между сторонами угла


Как найти угол между сторонами

Содержание

  1. Инструкция

Как найти угол между сторонами

Решение задачи по отысканию угла между сторон некоторой геометрической фигуры следует начинать с ответа на вопрос: с какой фигурой вы имеете дело, то есть определиться многогранник перед вами или многоугольник.В стереометрии рассматривается «плоский случай» (многоугольник). Каждый многоугольник можно разбить на определенное количество треугольников. Соответственно, решение этой задачи можно свести к отысканию угла между сторонами одного из треугольников, составляющих заданную вам фигуру.

Инструкция

  • Для задания каждой из сторон необходимо знать ее длину и еще один определенный параметр, который будет задавать положение треугольника на плоскости. Для этого, как правило, используются направленные отрезки - векторы. Надо отметить, что на плоскости может быть бесконечно много равных векторов. Главное, чтобы они обладали равной длиной, точнее модулем |a|, а также направлением, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовых координатах это ось 0Х). Поэтому для удобства векторы принято задавать с помощью радиус-векторов r=а, начало которых расположено в точке начала координат.
  • Для решения поставленного вопроса, необходимо определить скалярное произведение векторов а и b (обозначается (a,b)). Если угол между векторами ф, то, по определению, скалярное произведение двух ветров – это число, равное произведению модулей: (a, b) = |a||b|cos ф (см. рис1).В декартовых координатах, если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1у2 +х2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 + x2^2. Для вектора b – аналогично. Итак, |a||b|cos ф = x1у2 +х2y1. Следовательно, cos ф=(x1у2 +х2y1)/(|a||b|). Данная формула является алгоритмом решения поставленной задачи в «плоском случае».
  • Пример1. Найти угол между сторонами треугольника, заданными векторами a={3, 5} и b ={-1, 4}. Исходя из теоретических выкладок, приведенных выше, можно вычислить требуемый угол. cos ф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|)=(-3+20)/(9+25)^1/2(1+16)^1/2=18/6(17)^1/2=6/sqrt(17)=1,4552Ответ: ф =arccos(1,4552).
  • Теперь следует рассмотреть случай объемной фигуры (многогранника). В данном варианте решения задачи угол меду сторонами воспринимается, как угол между ребрами боковой грани фигуры. Однако, строго говоря, основание так же является гранью многогранника. Тогда решение поставленной задачи сводится к рассмотрению первого «плоского случая». Но векторы будут задаваться уже тремя координатами.Часто без внимания остается вариант задачи, когда стороны вообще не пересекаются, то есть лежат на скрещивающихся прямых. В данном случае понятие угла между ними также определено. При векторном задании отрезков прямых, способ определения угла меду ними един - скалярное произведение.
  • Пример 2. Найти угол ф между сторонами произвольного многогранника, заданными векторами a={3, -5, -2} и b ={3, -4, 6}. Как только что выяснено, тот угол определятся его косинусом, причем cos ф=(x1х2 +у1y2+z1z2)/(|a||b|)=(9+20-12)/(3^2+5^2+2^2)^1/2(3^2+4^2+6^2)^1/2=7/sqrt(29)•sqrt(61)=7/sqrt(1769)=0,1664Ответ: ф=arccos(0,1664)

completerepair.ru

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ c прямым углом $C$ (рис. 1).

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник

Будем рассматривать угол $A$. Тогда катет $BC$ будет называться противолежащим катетом, а катет $AC$ прилежащим к углу $A$.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Введем определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение 1

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Определение 2

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Определение 3

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету данного треугольника.

Определение 4

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету данного треугольника.

То есть, имеем:

Из формул (1) и (2) очевидно, что

Проверим теперь следующее тождество:

Подставим формулы (1) и (2), получим

Из теоремы Пифагора мы знаем, что ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно

Тождество (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для ${30}^{{}^\circ },\ {45}^{{}^\circ }$ и ${60}^{{}^\circ }$. Для этого вспомним следующую теорему.

Теорема 1

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в ${30}^{{}^\circ }$, равняется половине гипотенузы этого треугольника.

Пусть для начала у нас $\angle A={30}^{{}^\circ }$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B={60}^{{}^\circ }$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A={45}^{{}^\circ }$. Тогда $\angle B={45}^{{}^\circ }$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно, ${AB}^2={2BC}^2=2{AC}^2$, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Рисунок 2. Основные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Пример задачи на нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Пример 1

Найти значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла $A$, если $AB=5,\ BC=4,\ AC=3.$

Решение.

Все решение задачи будем производить с помощью определений 1-4. Получим:

\[sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,8\] \[cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6\] \[tgA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\] \[ctgA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}=0,75\]

spravochnick.ru

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Введем сначала определение треугольника.

Определение 1

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, вершинами которых являются три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1).

Отрезки называются при этом сторонами треугольника, а концы отрезков - вершинами треугольника.

Рисунок 1. Треугольник

Сумма углов треугольника

Рассмотрим теорему о сумме углов треугольника.

Теорема 1

Сумма углов любого треугольника равна ${180}^0.$

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что сумма его углов равна ${180}^0$. Построим прямую $a||AC$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $a||AC$, то $\angle A=\angle ACD,\ \angle B=\angle BCE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих $AC$ и $BC$, соответственно.

Так как $\angle DCE$ -- развернутый, то он равен ${180}^0$.

Получаем

То есть

Теорема доказана.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Перед тем, как ввести следующую теорему, введем понятие внешнего угла треугольника.

Определение 2

Внешний угол треугольника -- угол, смежный с углом треугольника (рис. 3).

Введем теорему о внешнем угле треугольника:

Теорема 2

Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Рассмотрим внешний угол треугольника $\angle BCD$ (рис. 3).

Рисунок 3. Внешний угол треугольника

По теореме 1 $\angle A+\angle C+\angle B={180}^0$, то есть $\angle C={180}^0-(\angle A+\angle B)$.

С другой стороны

Теорема доказана.

Теорема 3

В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол.

  2. Против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство.

  1. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что сторона $AB>AC$. Докажем, что угол $\angle C>\angle B$.

    Построим на стороне $AB$ отрезок $AD=AC$ (рис. 4).

    Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 3

    Очевидно, что отрезок $CD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Угол $ADC$ - внешний угол треугольника $BDC$, следовательно, по теореме 2, $\angle ADC >\angle B$. Так как $AD=AC$, то треугольник $DCA$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle ADC=\angle DCA$, значит $\angle DCA>\angle B$. Получаем

    \[\angle C >\angle DCA >\angle B\]
  2. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что $\angle C>\angle B$. Докажем, что $AB>AC$.

    Предположим противное, что $\ AB\le AC$. Рассмотрим два случая:

    Тогда по первому пункту этой теоремы $\angle B >\angle C$. Противоречие.

    Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, и, следовательно, $\angle B=\angle C$. Противоречие.

    Значит $AB >AC$.

Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Теорема 4

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что$AB

Рисунок 5. Иллюстрация теоремы 4

Так как $CD=BC$, то треугольник $BCD$ равнобедренный, следовательно, $\angle CBD=\angle D$. Тогда $\angle ABD >\angle D$. Значит $AD >AB$. Так как

То

Теорема доказана.

Пример задачи на соотношение между сторонами и углами треугольника

Пример 1

Сравнить стороны треугольника $ABC$, если $\angle A

Решение.

Для решения используем второй пункт теоремы 3.

Получим, что

\[BC

spravochnick.ru

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.

Пусть в ΔАВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (рис.).

Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС - внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как ∠ВСD = ∠ВDС, то и угол ВСD больше угла А: ∠ВСD > ∠A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.

Докажем теперь обратные теоремы.

Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Пусть в Δ AВС ∠A = ∠С (рис.). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.

Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ > ВС;

2) АВ

3) АВ = ВС.

Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС.

Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A.

Следовательно, возможен только третий случай, т. е.

АВ = ВС

Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС (рис.) ∠ C >∠ B

Докажем, что АВ > АС.

Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ = АС;

2) АВ

3) АВ > АС.

Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то ∠ С был бы равен ∠ В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС

Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.

Следовательно, возможен только один случай, а именно:

АВ > АС.

Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из его катетов.

razdupli.ru

Соотношение между углами и сторонами треугольника — урок. Геометрия, 7 класс.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Lenki_malas1.png 

Доказательство.

 

Пусть в треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) больше стороны \(AC\).

Докажем, что ∡\(C >\)∡\(B\).

 

Отложим на стороне \(AB\) отрезок, равный стороне \(AC\).

Так как \(AD < AB\), то точка \(D\) лежит между точками \(A\) и \(B\).

Следовательно, угол \(1\) является частью угла \(C\) и, значит &angmsd;\(C >\)&angmsd;\(1\).

 

Угол \(2\) — внешний угол треугольника \(BDC\), поэтому &angmsd;\(2 >\)&angmsd;\(B\).

&angmsd;\(1 =\)&angmsd;\(2\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(ADC\).

Таким образом, &angmsd;\(C >\)&angmsd;\(1 =\)&angmsd;\(2 >\)&angmsd;\(B\).              

 

Отсюда следует, что&angmsd;\(C >\)&angmsd;\(B\).

 

Справедлива и обратная теорема.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствия.

 

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

 

Следствие 2. Если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

 

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Lenki_malas2.png

 

Доказательство.

 

Рассмотрим треугольник \(ABC\) и докажем, что \(AB < AC + BC\).

 

Продолжим сторону \(AC\) и отложим отрезок \(CD = BC\).

Треугольник \(BCD\) — равнобедренный, следовательно&angmsd;\(1 = \)&angmsd;\(2\).

В треугольнике \(ABD\) очевидно, что&angmsd;\(ABD >\)&angmsd;\(1\), что значит &angmsd;\(ABD >\)&angmsd;\(2\).

 

Так как против большего угла лежит большая сторона, \(AB

 

Следствие 4. Для любых трёх точек \(A, B\) и \(C\), не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: \(AB < AC + CB,  AC < AB + BC,  BC < AB + AC\).

 

www.yaklass.ru

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла.

Стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями.

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Теорема синусов Расширенная теорема синусов

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

    \[\cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} \]

    \[\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} \]

    \[\text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} \]

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.

Теорема

(соотношения между сторонами и углами треугольника).

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона.

sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika1) Дано: ∆ ABC, AC>AB.

Доказать: ∠B>∠C.

Доказательство:

sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikaОтложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB.

Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ∠ABC=∠ABK+∠KBC, то есть ∠ABC>∠ABK.

Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK.

Значит, у него углы при основании равны: ∠ABK=∠AKB.

Для треугольника BCK  ∠AKB — внешний.

Поэтому ∠AKB=∠KBC+∠C, а значит, ∠AKB>∠C.

Имеем:

    \[\left. \begin{array}{l} \angle ABC > \angle ABK\\ \angle ABK = \angle AKB\\ \angle AKB > \angle C \end{array} \right\} \Rightarrow \angle ABC > \angle C.\]

2) Дано: ∆ ABC,

∠B>∠C.

Доказать: AC>AB.

Доказательство:

(методом от противного).

Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC<AB.

Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: ∠B=∠C, что противоречит условию.

По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC<AB, то ∠B<∠C. Снова пришли к противоречию.

Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB.

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru