Лабораторная работа «Определение центра тяжести плоской пластины» 7 класс. Нахождение центра тяжести плоского тела


48) Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная вертикально вниз сила, которая называется силой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела, строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и не являются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли, непараллельность настолько незначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющими свои значения, точки приложения и параллельность при любых поворотах тела. Поэтому, обозначив силу тяжести частицы через Рк , можно, согласно формулам и , найти точку С, которая неизменно связана с телом и называется центром системы параллельных сил тяжести. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется центр системы параллельных сил тяжести частиц данного тела. Точка С — это геометрическая точка, она может и не принадлежать телу, но она всегда с ним связана, например центр тяжести баскетбольного мяча, кольца и др. Выразим силу тяжести (вес) частицы тела через ее объем V. Тогда величина называется удельным весом, а величина - плотностью тела в данной точке. ("гамма"-Н/м3) ("ро"-Н*с2/м4)

Методы нахождения центра тяжести.

1) Метод симметрии.

Покажем, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр материальной симметрии, то его центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.

а. Пусть тело симметрично относительно плоскости Оху

Тогда вследствие симметрии каждому элементу К тела объемом (, , ) будет соответствовать элемент К' того же объема с координатами (, ,-). Поэтому статический момент объема и координата . Следовательно, центр тяжести тела будет лежать в плоскости симметрии Оху.

б. Пусть тело симметрично относительно оси Oz.

Тогда всякому элементу К тела объемом с координатами (, , ) будет соответствовать такой же по объему элемент К', расположенный симметрично относительно оси Oz и имеющий координаты (-,- , ). Поэтому статические моменты и, следовательно, координаты . Таким образом, центр тяжести будет находится на оси симметрии.

в. Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало координат. Тогда всякой частице тела объемом , определяемой радиус-вектором rк, будет соответствовать частица такого же объема с радиус-вектором (-rк), симметричная ей относительно центра О. Поэтому . Следовательно, центр тяжести будет находиться в центре симметрии. Например, центры тяжести однородных куба, сферы, кольца, прямоугольной или круглой пластины лежат в геометрическом центре этих тел.

2) Метод разбиения.

Этот метод основан на применении формул и . Его используют, когда тело можно разбить на ряд частей, центры тяжести которых известны из условий симметрии. Метод разбиения можно наглядно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Расположив тело в системе координат, разделив его мысленно на отдельные части, веса которых Р1, Р2, Р3, Р4, а центры тяжести известны, вычислим вес тела и, согласно формулам, координаты центра тяжести С всего тела. Если тело имеет вырез, причем известны центр тяжести тела без выреза и центр тяжести вырезанного тела, то для определения координат центра тяжести используют метод отрицательных масс (частный случай метода разбиения).

На рисунке изображена квадратная пластина, сторона которой а. В пластине выполнено круглое отверстие с радиусом r=0,2а и координатами центра x2=-0,3а; у2=0. Координаты центра тяжести С, пластины без отверстия x1=0, у1=0. Рассмотрим два тела: пластину без отверстия и диск, соответствующий вырезанному отверстию. При использовании формул вес диска будем считать отрицательным. Тогда, где р — вес единицы площади пластины.

studfiles.net

13. Центр тяжести твердого тела; центр тяжести объема, площади и линии. Способы определения положения центров тяжести тел.

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок 1.6

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела  γ, вес элементарной частицы тела 

Pk = γΔVk  (P = γV) подставить в формулу для определения  rC, имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S  (рисунок 1.7, а)

Рисунок 1.7

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L  (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C  и площадь  S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy  (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1  и  S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках  C1(x1, y1) и  C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Центры тяжести простейших фигур

Рисунок 1.10

1 Треугольник

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

 DM = MB,  CM = (1/3)AM.

2 Дуга окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е.  yC = 0.

dl  – элемент дуги,  dl = Rdφ,  R – радиус окружности,  x = Rcosφ,  L = 2αR,

Следовательно:

 xC = R(sinα/α).

3 Круговой сектор

Сектор радиуса  R с центральным углом  2α имеет ось симметрии  Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в). 

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса  (2/3)R. 

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги  AB:

14. Способы задания движения точки.

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета. 

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них  t.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

15. 1.2 Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени  Δt:

тогда 

средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

studfiles.net

2. Центр тяжести плоской фигуры

Однородное тело, имеющее форму тонкой пластинки, можно рассматривать как плоскую фигуру.

Положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами и(рис. 48). Вес однородной пластинки, где – площадь плоской фигуры,– вес единицы ее площади. Разобьем площадь фигуры на элементарные площадки, вес каждой из которых, где– площадь– ой площадки. Тогда:

, .

3. Центр тяжести линии

Пусть – вес единицы длины линии,– длина линии (рис. 49).

Тогда:

, ,.

10.3. Статические моменты

Статическими моментами называются выражения, стоящие в числителях формул для радиус- вектора центра тяжести. Например, из формулы

получаем статический момент относительно полюса:

.

Статическим моментом плоской фигуры относительно оси () называется сумма произведений площадей элементарных площадок этой фигуры на их ординаты (абсциссы)

, .

Статический момент площади плоской фигуры относительно оси измеряется в кубических метрах – .

Если известны статические моменты площади плоской фигуры относительно координатных осей, то координаты ее центра тяжести можно определить по формулам

, .

Очевидно, что если статический момент плоской фигуры относительно некоторой оси равен нулю, то центр тяжести этой фигуры лежит на этой оси.

10.4. Центры тяжести симметричных тел

Лемма. Если точки приложения параллельных сил расположены в одной плоскости, или лежат на одной прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит в этой плоскости или лежит на этой прямой.

Доказательство.

  1. Пусть точки приложения системы параллельных сил принадлежат плоскости (рис. 50), которую совместим с координатной плоскостью.

Тогда (). Следовательно, координата центра параллельных сил

,

то есть центр системы параллельных сил принадлежит плоскости

2. Пусть точка приложения параллельных сил лежит на прямой(рис. 51)

Тогда ,(). Вследствие этого,. Итак, точкалежит на прямой.

Теорема.Если тело имеет плоскость материальной симметрии, либо ось материальной симметрии, либо центр материальной симметрии, то центр тяжести телалежит в этой плоскости, либо на этой оси, либо в этом центре.

Доказательство.

1. Плоскость материальной симметрии (рис. 52).

Пусть – плоскость симметрии Центр тяжести каждой пары симметричных частиц лежит в плоскости. Поэтому можно рассматривать систему параллельных равнодействующих, точки приложения которых лежат в плоскости.

Тогда, в соответствии с доказанной леммой, центр тяжести будет лежать в той же плоскости .

  1. Ось материальной симметрии.

Пусть– ось материальной симметрии (рис. 53).

Центр тяжести каждой пары материальных частиц будет находиться на оси . Тогда центр тела принадлежит оси симметрии.

  1. Центр материальной симметрии.

Пусть – центр материальной симметрии (рис. 54). Равнодействующая каждой пары симметричных частиц будет приложена в центре. Тогда центр тяжести тела будет лежать в центре материальной симметрии.

Теорема доказана.

10.5. Основные способы определения центра тяжести

1. Способ эквивалентных точек ( применяется для определения центра тяжести тел сложной формы).

Тело разбивается на части, центр тяжести которых легко определить. В центре тяжести каждой части помещается эквивалентная точка, вес которой равен весу данной части. Затем находится положение центра тяжести построенной системы эквивалентных точек.

  1. Способ отрицательных весов (площадей, объемов) ( применяется для определения центра тяжести тел с вырезами или пустотами).

Тело мысленно дополняется до сплошного, после чего в каждом вырезе (пустоте) помещается отрицательная масса, вес которой равен весу части тела в объеме данного выреза. После этого применяется метод эквивалентных точек для сплошного тела и тел с отрицательными силами веса.

studfiles.net

Центр тяжести - методы нахождения.

Методы нахождения центра тяжести



Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

  • метод симметрии;
  • метод разбиения;
  • метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

***

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:

yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

  • Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
  • Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
  • Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

***

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны. Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

xC = Σ(Gixi)/ΣGi.

Перепишем ее в следующем виде:

xCΣGi = Σ(Gixi)     или     GxC = Σ(Gixi).

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

G'x'C = Σ(G'x'i),     G''x''C = Σ(G''ix''i),     G'''x'''C = Σ(G'''ix'''i).

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

G'x'C + G''x''C + G'''x'''C = Σ(G'ix'i) + Σ(G''x''i) + Σ(G'''ix'''i) = Σ(Gixi).

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение GxC, так как

GxC = Σ(Gixi),

Следовательно, xC = (G'x'C + G''x''C + G'''x'''C)/G, что и требовалось доказать. Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z:

yC = (G'y'C + G''y''C + G'''y'''C)/G, zC = (G'z'C + G''z''C + G'''z'''C)/G.

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц Gi, а силы тяжести конечных частей; под координатами xi, yi, zi понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

***

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

***

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания, который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку. Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии. Затем вновь проводят линию вдоль нити. Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания. Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт. Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю. Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов). По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести. Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а).

***



Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2). Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски), следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD. Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD, получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане. Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда yC = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x. Определим координату центра тяжести xC.

Разобьем дугу АВ на элементарные части li, одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

xC =Σ(lixCi)/Σli.

Дугу li вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника ODiCi и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

Li/Δyi = R/xCi     или     lixi = RΔyi.

Тогда:

xC =Σ(lixCi)/Σli = Σ(RΔyi)/l = RΣΔyi/l = R×AB/l,

поскольку RΣΔyi = AB, а Σli = l – длина дуги АВ. Но АВ = 2R sinα, а l = 2Rα, следовательно,

xC = (R sinα)/α.

При α = π/2 рад (полуокружность), xC = 2R/π.

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а). Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда yC = 0.

Определим xC, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги li можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R. Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги. Очевидно, что

xC = 2 R sinα/(3α).

При α = π/2 рад (полукруг): xC = 4R/(3π).

***

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача: Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4.

Решение. Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. xC = 0. По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения:  А1 = 15,2 см2;     y1= 22/2 = 11 см. Для швеллерного сечения:  А2 = 12 см2;     y2 = 22 + d – z0= 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см, где d – толщина стенки швеллера; z0 – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

yC = Σ(Aiyi)/ΣAi,

тогда:

yC = (A1y1 +A2y2)/(A1 +A2) = (15,2×11 + 12×21,07)/(15,2 + 12) = 15,4 см.

Задача решена.

***

Кинематика точки



k-a-t.ru

Положения центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии , то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания.

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Другая координата центра тяжести вычисляется по формуле: .

Многие конструктивные элементы изготавливают из стандартного проката – уголков, двутавров, швеллеров и других. Все размеры, а так же геометрические характеристики прокатных профилей это табличные данные, которые можно найти в справочной литературе в таблицах нормального сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке.

Решение:

  1. Выбираем оси координат, так чтобы ось Ох прошла по крайнему нижнему габаритному размеру, а ось Оу – по крайнему левому габаритному размеру.

  2. Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

  1. прямоугольник 20х10;

  2. треугольник 15х10;

  3. круг R=3 см.

  1. Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты вычислений заносим в таблицу

№ фигуры

Площадь фигуры А,

Координаты центра тяжести

Х, см

У, см

1

=20·10=200

20:2=10

10:2=5

2

3

10

5

  1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(14,5; 4,5)

Пример 2. Определить координаты центра тяжести составного сечения, состоящего из листа и прокатных профилей.

Решение.

  1. Выбираем оси координат, так как показано на рисунке.

  2. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблицы необходимые данные:

  1. – швеллер №10; высота h=100 мм; ширина b=46 мм; площадь сечения ;

  2. - двутавр №16; высота h=160 мм; ширина b=81 мм; площадь сечения ;

  3. – лист 5х100; толщина 5 мм; ширина 100 мм.

  1. Вычисляем координаты центра тяжести каждой фигуры. Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата . Результаты вычислений заносим в таблицу

№ фигуры

Площадь фигуры А,

Координаты центра тяжести

Х, см

У, см

1

=10,9

0

2

0

3

0

  1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(0; 10)

Лабораторная работа №1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Цель: Определить центр тяжести заданной плоской сложной фигуры опытным и аналитическим способами и сравнить их результаты.

Порядок выполнения работы

  1. Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.

  2. Определить центр тяжести аналитическим способом.

    1. Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых, мы знаем, как определить.

    2. Указать номера площадей и координаты центра тяжести каждой фигуры.

    3. Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры.

    4. Вычислить площадь каждой фигуры.

    5. Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры):

;

    1. Записать координаты центра тяжести.

  1. Определить центр тяжести опытным путем на установке для определения координат центра тяжести.

    1. Вырезать данную фигуру из тонкого картона.

    2. Определить центр тяжести своей фигуры на установке.

Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (см. рис.), к которой прикреплена игла 2. Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие. Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга). Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести С фигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

    1. Приклеить фигуру с определенным центром тяжести в тетрадь.

    2. Записать значения координат центра тяжести, найденных при подвешивании фигур:

  1. Сравнить результаты: ;

  2. Сделать вывод:

Задание для лабораторной работы. Номер схемы соответствует Вашему порядковому номеру в журнале.

studfiles.net

4.5. Центр тяжести и методы его нахождения

Рассмотрим твердое тело и разобьем его на бесконечное число элементарных частей, каждая из которых будет иметь бесконечно малый объем. Введем в рассмотрение силу тяжести каждой такой части. По своей природе эти силы сходятся к центру земли, поэтому на данное твердое тело действует система параллельных сил тяжести, направленных в одну сторону.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частичек тела при стремлении числа разбиений к бесконечности.

Пусть С– центр параллельных сил. Сила тяжести всего тела, радиус-вектор центр параллельных сил, где– радиус-вектор частички тела.

Для однородного тела

,

, следовательно. Если устремить число разбиений к бесконечности.

Координаты записываются следующим образом:

,,,

,,.

Если тело имеет форму тонкой поверхности (т.е. один из размеров будет несоизмерим по сравнению с двумя другими), тогда можно ввести силы тяжести в виде:

,,

, где– площади элементарных частей тела;

.

Если два размера малы по сравнению третьем, тогда

,.

Рассмотрим теперь методы нахождения центра тяжести.

1. Метод симметрии: если однородное твердое тело имеет плоскость (ось, центр) симметрии, то центр тяжести тела расположен в плоскости симметрии (на оси симметрии или совпадает с центром симметрии).

2. Метод разбиения на части – применяется в тех случаях, когда тело можно разбить на части, для каждой из которых известно положение ее центра тяжести или ее можно легко определить. Например,

,.

3. Метод отрицательных масс – применяется в тех случаях, когда тело имеет пустые полости (вырезы). Например,

,.

4.6. Определение центров тяжести простейших однородных тел

1. Прямолинейный отрезок.Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного – на самом отрезке и не может находиться вне прямолинейного отрезка.

2. Площадь треугольника.Центр тяжести площади, ограниченной треугольником, располагается в точке пересечения медиан треугольника на расстоянии 2/3 от вершины.

3. Дуга окружности.Центр тяжести дуги окружности радиусомRи стягиваемым ею центральным угломнаходится на оси симметрии дуги и равен

.

4. Площадь кругового сектора.Центр масс площади кругового сектора с радиусом Rи центральным угломнаходится на оси симметрии сектора и равен

.

5. Объем пирамиды и конуса.Центр тяжести объема конуса или пирамиды (как прямых, так и наклонных) находится на расстоянии 1/4 расстояния от центра масс площади основания до вершины.

6. Объем полушара. Центр масс объема полушара радиусомRнаходится на оси симметрии на расстоянии 3/8Rот его центра.

1. Кинематика точки

1.1. Траектория движения, скорость и ускорение точки

1. Траектория движения. Траекторией движения точкиназывается геометрическое место ее последовательных положений с течением времени в определенной системе отсчета. В разных система отсчетах одна и та же траектория точки будет иметь различную форму.

2. Скорость точки. Рассмотрим точкуМв пространстве. Положение этой точки в каждый момент времени относительно неподвижного центраОбудет определяться радиус-вектором. В момент времениt– положение точкиМ, в момент времениположение точки .

Средней скоростьюточки за времяназывается вектор, где– приращение радиус-вектора. Векторнаправлен по вектору.

Скоростью точки в данный момент времени называется вектор , равный.

Скорость направлена по касательной к траектории движения точки в сторону движения. Скорость характеризует быстроту изменения положения точки в пространстве с течением времени. Размерность скорости .

3. Ускорение точки. Пусть положение точки в момент времениt–М, а ее скорость; в момент времени–положение точки , а ее скорость. Перенесем векториз точки в точкуМ. Построим приращение вектора скорости точкиза время:=+. Введем в рассмотрение вектор– среднее ускорение точки за время. Условноприложим в точкеМ.

Ускорением точки в данный момент времени tназывается вектор

;.

Вектор ускорения точки всегда направлен в сторону вогнутости, т.е. во внутрь траектории. Размерность скорости .

4. Годограф.Годографом переменного вектора называется геометрическое место его концов, если этот вектор откладывать от одной и той же общей точки.

Траектория движения точки является годографом ее радиуса-вектора. Можно построить годограф вектора скорости. Можно утверждать, что производная от переменного вектора по скалярному аргументу – есть вектор, направленный по касательной годографа переменного вектора. Ускорение точки направлено по касательной к годографу скорости точки.

studfiles.net

Лабораторная работа «Определение центра тяжести плоской пластины» 7 класс

Лабораторная работа «Определение центра тяжести плоской пластины»

Цель: нахождение центра тяжести плоской пластины.

Приборы и материалы: плоская пластина произвольной формы, вырезанная из бумаги, нить с грузом, иголка, карандаш, линейка, штатив.

Указания к работе

  1. Вденьте нитку в иголку. К одному концу нити прикрепите груз (например, ластик).

  2. Вставьте иголку в пластину около края таким образом, чтобы пластина свободно вращалась на иголке (рис.2). Нить должна свободно свисать вдоль пластины

  3. Отметьте карандашом 2 точки на верхнем и нижнем крае пластины, через которые проходит нить.

  4. При помощи линейки проведите линию через эти точки.

  5. Повторите опыт ещё 2 раза, подвесив пластину в других точках.

  6. Линии должны пересечься в одной точке – центре тяжести пластины. Отметьте её на пластине (точка О).

hello_html_m42a8db98.pnghello_html_336be557.pngХод работы

1.Зарисуйте схему опыта.

hello_html_md60d0ef.png

2.Закрепить пластину и подвес.

3.Провести линию через точки на пластине.

4.Закрепить пластину за другое отверстие и провести линию.

5.Закрепить пластину за третье отверстие и провести пластину.

6.Точка пересечения линий – центр тяжести тела.

7.Получив точку пересечения трех линий, убедитесь, что она является центром тяжести данной фигуры. Для этого, расположив пластину в горизонтальной плоскости, поместите ее центр тяжести на острие заточенного карандаша.

Вывод:

infourok.ru