Обратная матрица и методы ее вычисления. Найдите матрицу обратную


Обратная матрица. Примеры вычисления

Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.

Матрицаназывается обратной к матрице,если выполняются следующие равенства.

.

Если определитель матрицыотличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.

Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицы. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы . Они равны минорам, умноженным на в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант . Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

--------------------------------------------

Пример 1.

Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")

1) (1.127)

2) (1.130)

3) (1.133)

Решение.

1)Находим определитель матрицы

Так как детерминант не равен нулю (), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений

Матрица дополнений примет вид

Транспонируем ее и получаем присоединенную

Разделим ее на определитель и получим обратную

Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.

2) Вычисляем определитель матрицы

Находим матрицу алгебраических дополнений

Конечный вид матрицы дополнений

Транспонируем ее и находим союзную матрицу

Находим обратную матрицу

3) Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые

Находим матрицу алгебраических дополнений. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).

Конечный вид матрицы дополнений следующий

Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу

Поскольку определитель матрицы равен единице то обратная матрица совпадает с присоединенной. Данный пример назад.

При вычислениях обратной матрицы типичными являются ошибки связанные с неправильными знаками при вычислении определителя и матрицы дополнений.

--------------------------------------------

------------------------------

yukhym.com

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:

  • методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
  • методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е, .                (1)

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е, .                (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1. Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

,  (2)

где - определитель матрицы А, а - матрица, союзная с матрицей А.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование - это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование - систему линейных уравнений вида

,

где aij - элементы матрицы A.

2. Решить полученную систему относительно y - найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование

,

в котором Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ - определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки - в столбце, а для элементов столбца - в строке.

3. Находим коэффициенты при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований - это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании - это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:

Начало темы "Матрицы"

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

Обратная матрица и методы ее вычисления

Запишем вспомогательную матрицу

    \[M=\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -5 & 2 \\ 3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

и приведем её, с помощью элементарных преобразований, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Переставим местами первую и вторую строки

    \[M=\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -5 & 2 \\ 3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на \left( -2 \right) , а к третьей строке первую, умноженную на \left( -3 \right)

    \[\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & 13 & 3 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим ко второй строке третью, умноженную на \left( -1 \right)

    \[\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & 13 & 3 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Умножим вторую строку на \left( -1 \right)

    \[\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 5 , а к третьей вторую, умноженную на \left( -14 \right)

    \[\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} -5 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 1 \\ 14 & 11 & -13 \\ \end{matrix} \right)\]

Разделим третью строку на 3

    \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} -5 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 1 \\ 14 & 11 & -13 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} -5 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 1 \\ \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right)\]

К первой строке прибавим третью, умноженную на \left( -2 \right)

    \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix} -5 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 1 \\ \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\ \ \left| \ \begin{matrix} \frac{-43}{3}\; & -\frac{34}{3}\; & \frac{41}{3}\; \\ -1 & -1 & 1 \\ \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Тогда обратная матрица равна A^{-1}=\left( \begin{matrix} \frac{-43}{3}\; & -\frac{34}{3}\; & \frac{41}{3}\; \\ -1 & -1 & 1 \\ \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right) .

ru.solverbook.com

Обратные матрицы - Как найти обратную матрицу

Каталин Дэвид

Матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Если A - обратимая матрица, то обратная ей матрица есть $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|} \cdot adj(A)$. $adj(A)$ - присоединённая матрица исходной матрицы A.

Вычисление обратной матрицы

  1. Вычисляем определитель матрицы.
  2. Записываем транспонированную матрицу.
  3. Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением. Полученная матрица является присоединённой матрицей.
  4. Вычисляем обратную матрицу.

Пример 46$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$\left|A\right|=1\cdot 5-6=-1$Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.

$ A^{T}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.

$1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot5 = 5$$2\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot3 = -3$$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot2 = -2$$5\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot1 = 1$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1\\ \end{pmatrix}$

$A^{-1}=- \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Пример 47$B=\begin{pmatrix} 2 & -7\\ -1 & 6 \end{pmatrix}$

$\left|B\right|=2\cdot 6-(-7)\cdot (-1) = 5$

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$A^{T}= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -7 & 6 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.$2\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot6 = 6$$-1\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot(-7) = 7$$-7\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot(-1) = 1$$6\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot2 = 2$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{7}{5}\\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

Пример 48$C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 4 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель по известной формуле и получаем $\left|B\right|=-18$.

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением.$ 1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1$

$4\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9-4)=-5$

$1\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{1,3}=(-1)^{4}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-2=1$

$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} = -(12-1)=-11$

$1\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3\\ \end{vmatrix}=3-2=1$

$2\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{2,3}=$ $(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 1 \end{vmatrix}= -(1-8)=7$

$2\longrightarrow (-1)^{3+1}\cdot \Delta_{3,1}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8-1=7$

$1\longrightarrow (-1)^{3+2}\cdot \Delta_{3,2}=$ $(-1)^{5}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-(2-3)=1$

$3\longrightarrow (-1)^{3+3}\cdot \Delta_{3,3}=$ $(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1-12=-11$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = - \frac{1}{18}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} - \frac{1}{18} & \frac{5}{18} & -\frac{1}{18}\\ \frac{11}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\\ -\frac{7}{18} & -\frac{1}{18} & \frac{11}{18} \end{pmatrix}$

Свойства обратной матрицы

Если A - обратимая матрица, то:$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A=I_{n}$

Пример 49$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 1\cdot(-5)+3\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot(-1)\\ 2\cdot(-5)+5\cdot2 & 2\cdot3 +5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I_{2}$

$A^{-1}\cdot A= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -5\cdot1 + 3\cdot2 & -5\cdot3 + 3\cdot 5\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot2 & 2\cdot3 +(-1)\cdot5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}$

www.math10.com

Как найти обратную матрицу

Как же найти обратную матрицу? Да вот так!

Обратную матрицу можно найти только у квадратной матрицы, т.е. у матрицы у которой количество строк совпадает с количеством столбцов. Обратная матрица существует, если определитель первоначальной матрицы не равен нулю.

Найдём обратную матрицу у матрицы:

Обратная матрица находится по формуле:

Где наша обратная матрица, detA - определитель матрицы, - транспонированная матрица алгебраических дополнений. С ней мы разберёмся немого позже.

Теперь найдём матрицу алгебраических дополнений - . Каждый элемент матрицы алгебраических дополнений находится по формуле - , m - номер строки, n - столбца, М - минор. Минор - это определитель подматрицы найденный путём вычёркивания строки/столбца.

Найдём миноры нашей матрицы:

Если возникли трудности с перменожением на еденицу в степени, то в конце можно просто поменять знаки у следующих элементов: + знак остаётся, - знак меняется.

Подставляем их в нашу матрицу и получаем матрицу алгебраических дополнений:

Трансформируем её в транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Для этого переставим местами строки со столбцами:

Подставляем всё это в формулу и получаем нашу обратную матрицу:

Проверим правильность нашей матрицы. Для этого нам нужно умножить исходную матрицу с обратной. Если обратная матрица правильна, то должна получится единичная матрица. Делать какие-то действия с нашей обратной матрицей несколько неудобно, так как элементы в ней дроби. Поэтому возьмём матрицу еще не поделённую на наш определитель и умножим её. В конце просто поделим получившуюся матрицу на наш определитель.

Значит наша матрица правильна.

kak-reshit.su

Как найти обратную матрицу

Как найти обратную матрицу

Наверное, никто не станет оспаривать тот факт, что нахождение обратных матриц представляет собой важнейшую часть курса математического анализа. Собственно говоря, представление об обратных матрицах поможет разобраться с решением множества задач, а также разработке множества программ. А потому, отсутствие навыка решения обратных матриц может привести к достаточно серьезным проблемам впоследствии. Так, например, некоторые разделы экономики подразумевают различные вычисление посредством матриц. В данной статье мы попробуем разобраться, как именно можно рассчитать обратную матрицу. Итак, приступим.

Как найти обратную матрицу

Обратная матрица: определение

На самом деле существует огромное количество методов расчета обратной матрицы. И зная хотя бы один из них безо всякого труда можно решить поставленную задачу.

Однако в первую очередь следует понять, что именно представляет собой обратная матрица. Возьмем, например, матрицу А, обратной к которой будет матрица В в том случае, если при умножении В на А получится единичная матрица. Кроме того, следует помнить, что лишь квадратная матрица, обладающая отличным от нуля определителем, может обладать обратной.

Как найти обратную матрицу

Каким образом можно найти обратную матрицу

Берем первый элемент верхней строки исходной матрицы и перемещаемся слева направо.

Мысленно удаляем содержащие данное число строку и столбец матрицы.

Считаем определитель уменьшенной матрицы.

Переписываем полученные результаты в другую матрицу. При этом следует помнить, что если выбор элементов исходной матрицы осуществлялся построчно, то их следует записывать в столбцы новой матрицы.

Поменяйте знак у элементов, сумма индексов которых является нечетной. Как видим, замена осуществляется через один знак, причем, если говорить точнее, то знак элемента обратной матрицы определяется возведением числа (-1) в степень, равную сумме индексов.Найденная матрица и будет считаться обратной к исходной.

Как найти обратную матрицу

Метод Гауса

Рассмотрим еще один достаточно простой способ нахождения обратной матрицы, а именно – метод Гауса.

Справа от исходной матрицы запишите единичную матрицу.

Произведите эквивалентные преобразования строк исходной матрицы так, чтобы она трансформировалась в единичную.Проделайте те же преобразования и с записанной справа матрицей.

После того, как приведете исходную матрицу к единичной, рядом получите обратную.

Как видим, найти обратную матрицу достаточно просто – приложите чуть-чуть усилий, и результат превзойдет все ваши ожидания!

Поделитесь, пожалуйста:

find-the-answer.ru

Найти обратную матрицу | Онлайн калькулятор

Матрица обратная заданной – это такая матрица умножая которую на исходную получают в результате единичную матрицу.

Важное условие: исходная матрица должна быть квадратной и ее определитель не может быть равен нулю то есть матрица должна быть невырожденной.

При решении матричных уравнений в задачах экономического анализа и во многих других прикладных задачах часто приходится сталкиваться с необходимостью построения обратной матрицы.

Существует несколько способов получения обратной матрицы (и точных и приближенных). Но все они довольно громоздки требуют значительных усилий и сложных вспомогательных подсчетов в особенности при работе с матрицами высоких порядков.

Поэтому предлагаем вам воспользоваться нашим онлайн-калькулятором который поможет быстро и без усилий получить необходимый результат.

"" maxLength=8 class=mvect>;"" maxLength=8 class=mvect>}""''"">B =

a'"

= {

'" maxLength=8 class=mvect1> x"" + "" = "" maxLength=8 class=mvect1>

"''">= "'"/>"""" = ""clear""

x

""addstr""addfr""simplify""simpl"" """"""
 '"showzn""m"" '""''"det||A|| = "''"""t""= ""round"" + "" - ""showtab""rank"" rank(A) = "".""ch""inv""r"">A-1 = ""zn""znak""; "'

'"x"'a'""'b'"

"""'

b

'"1"'

a'"

"'0''

xi = 0

''

xi '" 0

"" 0 """"
  '"  ""
X=""
M = ""tr""
MT = ""
A-1 = MT/det(A) = ""
"" ""
    ""{k1}""replace""{k2}""a""{k3}""{k4}""
  • "'
X = A-1 "" B = """" = "" "" = """"'"M""

""""

A* = ""
A*T = ""
A-1 = A*T/det(A) = ""hh""h""w""showtex"" & ""\\\\""- ""showabs"" =""("")"];
"'"'""n""addfr""addstr""clear"'
('")
""/""""-"".""search""""replace""split""length""t""add""add1""""'''"""center"""" 1"" 0""sqrt""\\sqrt{""}}{""\\frac{\\sqrt{"" ?"''"""1/2""1.45""max""min""floor"]; Вам помог этот калькулятор? Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

allcalc.ru