Как найти обратную функцию для данной. Найти функцию обратную данной


Обратная функция | Алгебра

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая.  Для построения прямой берём две точки.

    \[\begin{array}{l} y = 2x - 6\\ \begin{array}{*{20}{c}} x&\vline& 0&\vline& 3\\ \hline y&\vline& { - 6}&\vline& 0 \end{array} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} y = 0,5x + 3\\ \begin{array}{*{20}{c}} x&\vline& 0&\vline& { - 6}\\ \hline y&\vline& 3&\vline& 0 \end{array} \end{array}\]

obratnaya-funkciyaОднозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение  x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

2)

    \[{y^2} = x, \Rightarrow y = \pm \sqrt x .\]

Так как y≥0, то

    \[y = \sqrt x ,\]

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

vzaimno-obratnye-funkcii

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

www.algebraclass.ru

Примеры обратных функций | Математика

Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:

1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .

2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.

Примеры нахождения обратных функций:

1) y=3x-8

1. x=3y-8

2. 3y=x+8

y=(x+8)/3.

2) y=11-5x

1. x=11-5y

2. 5y=11-x

y=(11-x)/5.

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции —  ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Пример обратных функций, заданных на промежутке.

y=x².

Это — квадратичная функция. Она убывает на промежутке (-∞;0), и

возрастает на промежутке (0;∞). Возьмем промежуток [0;∞). На этом промежутке функция монотонна, поэтому обратима. Ищем обратную функцию.

1. x=y²

2. y=√x.

y=x² и y=√x на [0;∞) — взаимно обратные функции.

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

пример обратных функций

 

www.matematika.uznateshe.ru

Обратная функция

Обратная функция

  1. Рассмотрим две функции, и, графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функцияобладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только приодном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение. В геометрической интерпретации это означает, чтопараллельная оси абсцисс прямая пересекает график функции  ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только приодном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функциипринимается при разных значениях аргумента,и, то естьи. Другими словами, уравнениеимеет при данном значениидва корня. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции  более чем в одной точке.

Свойство функции принимать каждое свое значение только приодном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению тоединственное значение , при котором. То есть ставит числув соответствие единственный корень уравнения. Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом,.

Отметим, что в отличие от функции , для функциизадать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция, определенная на множестве, и ставящая в соответствие числучисло), такое, что, называется обратной к функции.

  1. Найдем обратную функцию к функции . Область определения функции, отрезок, обозначим буквой, то есть. Множество значений функциисоставляет отрезок, обозначенный буквой, то есть

Функция числу из промежуткаставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например,. Функцияявляется обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежуткеи произвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием, то есть равенством(рис.4). Выражаем из этого равенства, возведя обе части равенства в квадрат,. Таким образом, функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, равное. Значит, для каждогоимеем, то есть.

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная, а зависимой - переменная. То есть, в сравнении с функцией, переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х - аргумент функции, а зависимую переменную – буквой, то функцияпримет вид. Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция, заданная на отрезке, является обратной к функции.. Множество значений обратной функции - отрезок.

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график. Для этого отрезок, составляющий область определения функциинужно отложить на оси ординат, поскольку на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функцииимеют координаты, при этом(рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»:и.

  1. Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только приодном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию, которая определена на, так как- множеством значений функции(рис.7). Обратная функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием(рис.7). Выразив из этого равенства, получаем. Значит, для каждогоимеем, то есть .

Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим. Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция, которая также является линейной.

Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное значение аргумента обратной функции буквой , а не, как это для ясности сделано в разобранных примерах.

  1. Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции.

  1. Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.

Пусть для определенности функция является возрастающей. Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через, большее - через, то есть. Из этого неравенства в силу определения возрастающей функции следует, что, а значит. Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции и, следовательно, функцияобратима. Для убывающей функции доказательство аналогично.

Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента. Обратима также возрастающая функция.

Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.

  1. Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции. Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Пусть точка с координатамипринадлежит графику функции, то есть. Тогда, по определению обратной функции. Это означает, что точкас координатамипринадлежит графику обратной функции (рис. 11).

Докажем, что точки исимметричны относительно прямой. Для определенности рассмотрим случай, когда точкалежит в первом координатном угле и. Проведем через точкиипрямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольникявляется квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата, точкии, имеют координатыи, соответственно, и, значит, принадлежат прямой(рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точкиисимметричны относительно диагонали, а, следовательно, и относительно прямой.

Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой, принадлежат графику обратной функции. Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функцииотносительно прямой, принадлежат графику функции. Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.

  1. Пример 2. Докажите, что функцияявляется обратимой. Найдите обратную к ней функцию.

Решение. Построим график заданной функции – часть параболы (рис.10), которая удовлетворяет условию.

Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения выразить х через у, а затем ввести новые обозначения переменных.

Запишем уравнение в виде . Это квадратное уравнение относительно неизвестного, свободный член уравнения равен. Найдем дискриминант квадратного уравнения,. По формуле корней квадратного уравнения имеемили, после упрощения. Итак при любом допустимом значенииквадратное уравнение имеет два корняи. Учитывая, что область определения заданной функции - промежуток, получаем.

Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем формулу обратной функции .

Замечание. Фактически мы доказали, что если рассматривать функциюна промежутке, то на этом промежутке она является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функцияне обратима, если она рассматривается на(рис.10). На промежутке, функция убывает, а значит обратима.

Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что они пересекаются в точке, принадлежащей прямой . Это не случайно. Действительно, пусть график обратимой функцииимеет общую с прямойточку. Тогда, точка, симметричная точкеотносительно этой прямой, принадлежит графику обратной функции.Но этой точкой является сама точка. Значит, она принадлежит обоим графикам одновременно, то есть является их точкой пересечения.

Упражнения

  1. Укажите, на каких рисунках изображены графики обратимых функций.

Ответ. 4;6

  1. Функции имеет два нуля. Почему она не имеет обратной функции?

  2. На рисунке изображен график функции . Докажите,

что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток на оси ординат, такой, что новая функция– обратима. Укажите несколько возможных вариантов.

  1. На рисунке изображен график обратимой функции . Найдите значения обратной к ней функции при значениях аргумента равных. Укажите область определения и множество значений обратной функции.

Ответ.

1)

2)

  1. Найдите функцию, обратную по отношению к линейной функции

  1. Нарисуйте график какой-нибудь обратимой функции , (– обратная к ней), так, чтобы были выполнены следующие условия

  1. Функция имеет обратную. Найдите область определения и множество значений обратной функции, если известно, что:

9. Функция задана графиком. Построить график обратной к ней функции

  1. Найдите функцию , которая является обратной по отношению к функции

Дополнительные задания

  1. Найдите все линейные функции , такие, что функция совпадает с обратной по отношению к ней функцией.

Ответ. .

  1. Постройте график функции, обратной данной. Найдите формулу, задающую обратную функцию.

  1. Функция обратима. Известно, что уравнениеимеет следующие корни. Решить уравнение, гдефункция, обратная к.

Ответ. .

  1. Функция имеет обратную функцию. Решить уравнение, если известно, что уравнениеимеет корни.

Ответ. .

  1. Докажите, что если - возрастающая (убывающая) функция, то и обратная к ней функциятак же является возрастающей (убывающей) функцией.

  2. Верно ли, что если нечетная функция имеет обратную функцию, то она также будет нечетной?

Ответ. Верно

  1. Может ли функция, обратная к данной функции, быть четной функцией?

Ответ. Не может

  1. Найдите функцию, обратную функции , и постройте ее график.

studfiles.net

Как найти обратную функцию для данной

Обратной функцией называют функцию, обращающую начальную связанность у = f(x) таким образом, что довод х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений начальной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

Инструкция

1. В всеобщем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите довод х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом рассматривайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение довода х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Желанная обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).

2. Впрочем нередко в функциях применяются трудные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции необходимо рассматривать знаменитые свойства данных математических выражений.

3. Если в начальной функции довод х стоит под степенью, для приобретения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Скажем, для заданной функции у = 7+ х? обратная будет иметь вид: f(у) = ?у -7.

4. При рассмотрении функции, где довод х представляет собой степень непрерывного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, хорошее от нуля. Так же и напротив, рассматривая начальную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.

5. В частном случае изыскания функции, содержащей естественный логарифм ln х либо десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, приобретение обратной функции проводится подобно, только взамен основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Скажем, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.

6. Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары: — y = cos x -> x = аrccos y;- y = sin x -> x = аrcsin y;- y = tan x -> x = аrctan y.

Обратите внимание! Следует помнить, что постоянную функцию дозволено обратить лишь на тех интервалах ее значений, где она однообразна.

jprosto.ru

Как найти обратную функцию для данной

Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

Инструкция

  • В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).
  • Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.
  • Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.
  • При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.
  • В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.
  • Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары: - y = cos x -> x = аrccos y;- y = sin x -> x = аrcsin y;- y = tan x -> x = аrctan y.

completerepair.ru


Смотрите также