Как найти угол наклона прямой по двум точкам. Найти угол прямой


Угол между прямой и плоскостью

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:

cosψ=cos(90−φ)=sinφ.(3)

Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Тогда имеем:

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ.(4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

или

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

 

Пример 2. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

matworld.ru

Прямой угол | Треугольники

Чему равен прямой угол? Как изобразить прямой угол? Как найти  прямые углы на рисунке?

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90º.

I. Проще всего изобразить прямой угол по клеточкам.

1) Точку — вершину прямого угла — ставим на пересечении клеточек.

2) Из вершины проводим лучи — стороны угла: один — горизонтально, другой — вертикально.

3) Ставим знак прямого угла — маленький квадрат при вершине: □

pryamoj-ugol

∠BAC=90º,

то есть угол BAC — прямой.

 

II. Другой способ построения прямого угла — при помощи транспортира:

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От вершины проводим луч — сторону угла.

3) Совмещаем вершину угла с отметкой в центре транспортира (у разных моделей положение отметки может быть различным) так, чтобы отметка 0º располагалась на стороне угла.

4) На отметке 90 градусов ставим точку.

5) От вершины через эту точку проводим второй луч — другую сторону угла:

postroenie-pryamogo-ugla

III. Ещё один способ построения прямого угла — с помощью угольника.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

1) От вершины угла проводим луч — первую сторону угла.

2) Прикладываем угольник прямым углом к вершине угла так, чтобы одна сторона угольника проходила через первую сторону угла.

3) Вдоль другой стороны угольника проводим другой луч — вторую сторону угла.

postroit-pryamoj-ugol

Чтобы по рисунку найти прямой угол, также можно использовать угольник.

chemu-raven-pryamoj-ugol

Если приложить угольник к вершине угла вдоль одной из сторон, то  в остром угле вторую сторону угольник частично закроет (так как градусная мера острого угла меньше 90º), в тупом — вторая сторона окажется за угольником (поскольку тупой угол больше 90º), и только в прямом угле другая сторона угольника пройдёт ровно вдоль второй  стороны:

najti-pryamoj-ugol

Треугольник, один из углов которого — прямой, называется прямоугольным.

www.treugolniki.ru

Как найти угол между прямой и плоскостью, если даны точки

Содержание

  1. Инструкция

Как найти угол между прямой и плоскостью, если даны точки

Задача относится к аналитической геометрии. Ее решение можно найти на основе уравнений прямой и плоскости в пространстве. Таких решений, как правило, несколько. Все зависит от исходных данных. При этом любой вид решения без больших трудозатрат может быть переведен в другой.

Инструкция

  • Поставленную задачу наглядно иллюстрирует рисунок 1. Вычислению подлежит угол α между прямой ℓ (точнее, ее направляющим вектором s) и проекцией направления прямой на плоскость δ. Это неудобно тем, что тогда приходится искать направление Прs. Гораздо проще сначала найти угол β между направляющим вектором прямой s вектором нормали к плоскости n. Очевидно (см. рис. 1), что α=π/2-β.
  • Фактически для решения задачи осталось определить нормальный и направляющий векторы. В поставленном вопросе упомянуты заданные точки. Только не указано - какие именно. Если это точки, определяющие как плоскость, так и прямую, то их не мене пяти. Дело в том, что для однозначного задания плоскости требуется знать три ее точки. Прямая однозначно задается двумя точками. Потому следует считать, что даны точки М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) (задают плоскость), а также M4(x4,y4,z4) и M5(x5,y5,z5) (задают прямую).
  • Для определения направляющего вектора s вектора прямой совсем не обязательно располагать ее уравнением. Достаточно положить s=M4M5, и тогда его координаты s={x5-x4, y5-y4, z5-z4} (рис. 1). Это же можно сказать и о векторе нормали к поверхности n. Для его вычисления найдите векторы М1М2 и М1М3, показанные на рисунке. M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1M3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Эти векторы лежат в плоскости δ. Нормаль n перпендикулярна плоскости. Поэтому положите ее равной векторному произведению М1М2×М1М3. При этом совершенно не страшно, если нормаль окажется направленной противоположно той, которая приведена на рис. 1.
  • Векторное произведение удобно вычислять с использованием вектора-определителя, который следует раскрывать по первой его строке (см. рис. 2a). Подставьте в представленный определитель вместо координат вектора а координаты М1М2, вместо b – M1M3 и обозначите их А, B, C (именно так записываются коэффициенты общего уравнения плоскости). Тогда n={А,B,C}. Для определения угла β используйте скалярное произведение (n,s) и способ его вычисления в координатной форме. сosβ=(A(x5-x4)+B(y5-y4)+C(z5-z4))/(|n||s|). Так как для искомого угла α=π/2-β (рис. 1), то sinα=cosβ. Окончательный ответ приведен на рис. 2b.

completerepair.ru

Как найти прямой угол? | Ответ здесь

Способов, как найти прямой угол, множество. Это необходимо, не только, когда человек грызет гранит науки, но и широко используется во взрослой профессиональной жизни – на строительных площадках, на заводах при изготовлении разных механизмов, в медицине – при выполнении ряда операций, в живописи и так далее.

Способ 1

Инструкции

1. Простейший способ найти прямой угол с помощью транспортира – 90 градусов и будет прямой угол.

2. Еще можно нарисовать две окружности, пересекающиеся между собой.

3. Точки их пересечения соединить прямой, и провести прямой отрезок через центры окружностей. Место пересечения этих прямых — прямой угол.

Способ 2

Инструкции

1. Еще вариант, пригодный например, на дачном участке – взять три веревки, размер которых 3,4,5 метров соответственно и три колышка. Привязать 3 и 4 метра к одному колышку, а к двум другим концам остальные два колышка, и к этим вторым концам присоединить веревку в 5 метров и угол треугольника с колышком, который был первый и есть прямой.

2. Благодаря техническому прогрессу очень просто стало находить прямой угол лазерным уровнем. Но, как найти прямой угол, не имея лазерного уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и воспользоваться рулеткой. Надо взять нулевую точку, отложить катет, размером например, 1 метр. Второй катет, взять тоже 1 метр.

3. А теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катета равна квадрату гипотенузы в прямоугольном треугольнике, а надо найти прямой угол. Соответственно, зная два катета, на калькуляторе можно посчитать гипотенузу, для этого достаточно сложить квадрат гипотенузы, квадрат не сложно найти, тем более такого числа, как единица и самое сложное надо получить квадратный корень из этой суммы.

4. В данном случае получается 1 метр 44 см и 4 мм. Это расстояние, которое являет собой гипотенуза, соответственно, можно установить гипотенузу в виде, например рулетки, на один конец треугольника, а второй совмещаем со вторым концом. Когда все точки соприкоснутся, а для этого одним катетом происходит регулирование в соответствие с размерами гипотенузы, — в итоге получится прямой угол.

questione.ru

Как правильно рассчитать прямой угол. Как правильно рассчитать. Kak-Delat-Pravilno.ru

Как найти прямой угол 90 градусов

Как найти угол 90 градусов с помощью строительной рулетки и карандаша?

Многие строители сталкивались с такой проблемой - как найти угол 90 градусов или, как узнать - угол тупой (больше 90 градусов) или острый (меньше 90 градусов).

Не будем, возвращается к школьной геометрии, и изучать хитроумные слова, а рассмотрим на практике, где каждый человек, буквально за одну минуту, сможете определить, сколько градусов имеет тот или другой угол. А за 5 минут, вы сможете сделать точный угольник с прямым углом, то есть 90°.

Возьмем к примеру.На одной стороне (на катете “ a ”) отмеряем 60 см. Затем на другой стороне (катет “ b ”) отмеряем 80 см. Если от точки “ a ” к точки “ b ” перпендикуляр “ c ” будет составлять 100 см (1 метр) значит, угол имеет 90 градусов. Если больше, например 1.1 м угол тупой, а когда 0.9 м, угол острый. Таким образом, с помощью строительной рулетки и карандаша мы смогли получить прямой угол.

Теперь разуберём цифры 60 и 80 и почему перпендикуляр должен иметь 1 м. Берем комбинацию чисел “3,4,5” и каждую цифру умножаем на свое придуманное число – например “5”.

3(умножаем)5=15 катет4*5=20 катет5*5=25 гипотенуза

В выше представленном примере, мы взяли числа “30, 40, 50” и каждое число умножили на “2”, таким способом, у нас получилась такая комбинация: 30*2=60 катет 40*2=80 катет 50*2=100 гипотенуза

Как сделать угол 45 градусов с помощью строительной рулетки и карандаша?

Перед тем, чтобы получить угол 45 градусов, по выше изложенной системе сделайте прямой угол. Затем, на катете “ а ” и ” b ” измеряем одинаковые размера и проводим гипотенузу. Измеряем гипотенузу и разделяем на два (/2). Затем проводим линию к прямому углу. Таким способом мы разделили 90 градусов на 45 – две одинаковые части по 45°.

Как сделать самому угольник с прямым углом за 5 минут?

1 Соединяем между собой две ровные деревянные рейки, так чтобы одна из них была перпендикулярная другой.

2 Затем измеряем два катета по выше изложенной системе.

3 Прибываем деревянную рейку к первой метке

4 Измеряем гипотенузу и фиксируем на втором катете.

5 Проверяем все размеры и во всех местах дополнительно фиксируем.

6 Затем лишние части обрезаем.

Как найти прямой угол 90 градусов видео

Как сделать прямой угол между стенами.

Древнегреческие геометры и, в частности Евклид, старались зря, их знания до советских строителей так и не дошли. В том смысле, что прямоугольных помещений в советских домах не бывает. А бывают в лучшем случае в виде параллелограмма, усеченной трапеции или ромба, а в худшем и наиболее распространенном в виде неправильного четырехугольника. Это довольно часто затрудняет качественную отделку помещений. Приходится искать прямой угол самому. Сделать это в общем-то несложно.

Разметку проще всего производить на полу. Для этого Вам понадобятся:

  • Маркер, мел или карандаш
  • Строительный уровень, суровая нитка или строительный шнур.
  • Рулетка.

С помощью строительного уровня или отвеса (проще - с помощью уровня, точнее - с помощью отвеса) определите выпирающие участки стен. В этих местах перенесите вертикальные отметки на пол. Проведите через 2 отметки вдоль каждой стены прямые линии так, чтобы остальные отметки (если они у Вас есть) остались между линией и стеной.

Обычно прямая линия вдоль одной из 2 самых широких стен принимается за основу, если нет каких либо других точек отсчета. В этом случае площадь помещения при дальнейшей отделке будет уменьшена минимально.

Отмерьте от одного из углов с помощью рулетки 1 м и поставьте отметку на линии. Сделайте то же самое на перпендикулярной (возможно, не совсем) линии.

Соедините полученные отметки так, чтобы получился треугольник.

Измерьте расстояние между полученными отметками.

Если стены перпендикулярные это расстояние должно равняться

1.414 м более точно 1.41421356 м, но такая точность вам не понадобится.

Если расстояние (гипотенуза треугольника) больше, то у Вас вместо прямого угла между стенами тупой. Для того, чтобы получить прямой угол, приложите начало рулетки к точке пересечения линий в углу и нарисуйте небольшую дугу радиусом 1 м. Затем приложите начало рулетки к отметке на линии вдоль стены принятой за основу и нарисуйте небольшую дугу радиусом 1.414 м. Проведите через точку пересечения дуг и точку пересечения линий в углу прямую линию. Эта новая линия и будет контуром стены. Если это для Вас слишком сложно, то просто отмерьте на гипотенузе 1.414 м от отметки у той стены которую вы приняли за основу. Проведите прямую линию через полученную отметку и точку пересечения линий в углу. В этом случае Вы получите не прямой угол, но все же намного ближе к прямому, чем тот который был.

Если расстояние (гипотенуза треугольника) меньше, то у Вас вместо прямого угла между стенами острый. Для того, чтобы получить прямой угол, отступите от отметки на линии вдоль стены, принятой за основу, несколько сантиметров. Нарисуйте на полу небольшие дуги по принципу, изложенному в предыдущем пункте. Полученную линию можно перенести ближе к стене. Главное условие - отметки выпирающих участков стены должны остаться между новой линией и стеной.

Если Вы не совсем поняли этот текст, то рисунок поможет Вам лучше разобраться:

От полученных 2 сторон прямоугольника методом параллельного переноса определяются оставшиеся 2 стороны.

Как вычислить прямой угол

Если линии, образующие угол, начерчены на бумаге, то определить, что угол является прямым можно, например, с помощью транспортира. Приложите его параллельно любой из сторон таким образом, чтобы нулевая отметка совпала с вершиной угла. Если другая сторона угла соответствует девяностоградусному делению транспортира, то вас можно поздравить - вы определили, что именно этот угол и является прямым. Это же самое можно проделать и с помощью угольника, а если абсолютной точности не требуется, то даже с использованием других имеющихся под рукой предметов - спичечного коробка, дискеты, пластиковой коробки CD/DVD-диска и любого другого прямоугольного предмета.

Если в условиях задачи даны длины сторон треугольника, то вам следует определить ту из них, которая является гипотенузой - угол, лежащий напротив нее, будет прямым. Гипотенуза - это всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, поэтому с предварительным определением ее проблем не будет. Если таких окажется две, то треугольник не является прямоугольным и нужного вам угла в нем нет вообще. В противном случае произведите дополнительную проверку - квадрат длины гипотенузы должен быть равен сумме квадратов длин двух коротких сторон (катетов). Если это так, то лежащий напротив длинной стороны угол (его обычно обозначают буквой γ) является прямым.

Если вам нужно рассчитать построение прямого угла, то проделайте операцию, обратную описанной в предыдущем шаге. Сначала определите длины двух сторон, которые будут этот угол образовывать. Проще работать с правильным равнобедренным треугольником, поэтому лучше взять одинаковые длины катетов. Если результат надо отобразить на бумаге, то отложите на циркуле нужную длину, поставьте точку в вершине будущего угла и обозначьте ее буквой А. Начертите круг с центром в этой точке и проведите радиус, обозначив точку его касания с окружностью буквой В. Затем рассчитайте длину гипотенузы - умножьте длину катета на квадратный корень из двойки. Полученное значение отложите на циркуле и начертите второй круг с центром в точке В. Затем соедините точку пересечения двух окружностей (точка С) с центром первого круга (точка А). Это и будет прямой угол ВАС.

Источники: http://konstrukcia-krysh.ru/priamoy-ugol.php, http://doctorlom.com/item4.html, http://www.kakprosto.ru/kak-94818-kak-vychislit-pryamoy-ugol

Комментариев пока нет!

kak-delat-pravilno.ru

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

и

где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда

Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

и

где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Из определения скалярного произведения:

где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

matworld.ru

Как найти угол наклона прямой по двум точкам

1 методика:Пример задачи

В некоторых задачах требуется найти угол наклона прямой (если быть точным, то вычисляется тангенс этого угла). Самый простой способ сделать это - подставить координаты двух точек на этой прямой в формулу.

Шаги

  1. 1 Формула для вычисления тангенса угла наклона. Тангенс угла наклона равен отношению изменения координаты «у» к изменению координаты «х».
  2. 2 Возьмите прямую, угол наклона которой необходимо найти.
  3. 3 Выберите любые две точки, которые лежат на этой прямой. Координаты записываются в виде (х,у). Не важно, какие две точки вы выберите. Важно, чтобы они лежали на одной прямой.
  4. 4 Определите точку, которая лежит выше второй точки. Координаты такой точки обозначим как x2 и y2, а координаты второй точки как x1 и y1.
  5. 5 Подставьте соответствующие координаты в формулу.
  6. 6 Вычтите две координаты «у».
  7. 7 Вычтите две координаты «х».
  8. 8 Разделите полученные результаты. Сократите дробь, если возможно. Сокращенная дробь будет вашим окончательным ответом.
  9. 9 Убедитесь, что ваш ответ правильный.
    • Тангенс угла прямых, идущих слева направо вверх, всегда положителен.
    • Тангенс угла прямых, идущих слева направо вниз, всегда отрицателен.

Пример задачи

  1. 1 Дано: Прямая, проходящая через точки A и B.
  2. 2 Координаты точек: А (3,4), B(6,8).
  3. 3 (y2-y1): 8-4=4; Изменение координаты «у» = 4
  4. 4 (x2-x1): 6-3=3; Изменение координаты «х» = 3
  5. 5 Угол наклона прямой (тангенс угла) = (Изменение координаты «у» / Изменение координаты «х») = 4/3.

Советы

  • Правильно подставляйте координаты точки, лежащей выше на прямой, в формулу. В противном случае вы получите неправильный ответ.
  • Вы нашли "m" в линейном уравнении вида y=mx+b, где "m" – угловой коэффициент, "х" и "у" - координаты, "b" – сдвиг прямой по оси Y.

Предупреждения

  • Не путайте формулу для вычисления угла наклона прямой с другими формулами, например, с формулой для вычисления расстояния, линейным уравнением или формулой для нахождения среднего значения.

ves-mir.3dn.ru