Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции. Наклонные асимптоты как найти


Примеры нахождения наклонных асимптот

В предыдущей статье наведены определения наклонных, вертикальных, горизонтальных асимптот. Сейчас же будут приведены примеры нахождения асимптот с применением правила Лопиталя. Его удобно применять при нахождении границ с неопределенностями типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность , то есть, когда есть границы вида

или

то по правилу Лопиталя ее значение равно

если функции дифференцируемы и определены в окрестности точки . Производную можно применять повторно до тех пор, пока не получим константу в числителе или знаменателе или дробь избавится особенности.

------------------------------------

Примеры.

Найти асимптоты функций

І.

Решение:

Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль

Область определения будет разбита на два интервала

Точка которая разбивает область определения будет вертикальной асимптотой . Найдем наклонную асимптоту согласно формулы

Первую неизвестную найдем с предела

Вторую определяем по правилу

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

Функцию с асимптотой изображено на графике

------------------------------------------

ІІ.

Решение:

Функция определена во всех точках кроме тех, в которых знаменатель равен нулю. Найдем решения квадратного уравнения

Оба корня разбивают область определения на три интервала

а также являются вертикальными асимптотами функции. Наклонную асимптоту находим с применением правила Лопиталя

При вычислении констант , входящих в уравнение прямой, пришлось применить правило Лопиталя трижды для первой и дважды для второй неизвестной. В конечном итоге получили следующее уравнение наклонной асимптоты

График функции приведен ниже

--------------------------------------

III.

Решение:

С виду функции следует что она определена во всех точках где определены корни

Накладывая оба промежутка получим область определения

Точка является вертикальной асимптотой функции. Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение наклонной асимптоты. Применение правила Лопиталя к данному примеру никаких упрощений не даст поэтому используем другое

Упростим выражение в числителе

и подставим в границу

Уравнение наклонной асимптоты примет вид

График заданной функции с наклонной асимптотой следующий

--------------------------------------

Приведенные решения частично ознакомили Вас с возможными примерами которые могут быть на практике. Для лучшего владения данной тематикой решайте задачи самостоятельно, изучайте удобные методики нахождения пределов функции которые позволят получить результаты быстрее.

-----------------------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Как найти наклонные асимптоты функции

Чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой к графику функции у, ее уравнение должно удовлетворять условию

    \[{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx-b\right)\ }=0.\]

Из этого условия можно вычислить коэффициенты k и b наклонной асимптоты к графику функции у:

    \[{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx+b\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx\right)\ }+b\ .\]

Тогда

    \[b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } y\ }-{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx\right)\ }=\]

По свойству пределов:

    \[={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx\right)\ }\]

и

    \[{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{y}{x}\ }=\]

Подставим вместо у выражение из правой части уравнения прямой и почленно поделим числитель и воспользуемся свойством предела:

    \[={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{kx}{x}\ }+{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{b}{x}\ }=\]

Вынесем постоянные за знак предела:

    \[=k{\mathop{\lim }_{x\to \infty } 1\ }+b{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{1}{x}\ }=k\]

Следовательно, функция у будет иметь наклонную асимптоту в виде y=kx+b только в том случае, когда будут существовать конечные пределы:k={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{y}{x}\ } и b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx\right)\ }

Пример.Найдем наклонные асимптоты функции y=\frac{21x^3}{23-29x^2}.

Решение.Найдем наклонные асимптоты.Уравнение наклонных асимптот имеет вид y=kx+b. Согласно определению асимптоты:

    \[{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx+b-y\right)\ }.\]

Найдем коэффициент k:

    \[k={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{\frac{21x^3}{23-29x^2}}{x}\ }=-\frac{21}{29}.\]

Найдем коэффициент \textit{b:}

    \[b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(\frac{21x^3}{23-29x^2}-\left(-\frac{21}{29}\right)\cdot x\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(\frac{21x^3}{23-29x^2}+\frac{21}{29}\cdot x\right)\ }=0.\]

Получили уравнение наклонной асимптоты:

    \[y=-\frac{21}{29}x.\]

Ответ. y=-\frac{21}{29}x — наклонная асимптота функции y=\frac{21x^3}{23-29x^2}.

Таким образом, нахождение наклонных асимптот сводится к вычислению соответствующих пределом.Чтобы убедиться в правильности решения можно построить график у функции и соответствующей асимптоты.

ru.solverbook.com

5.5. Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

или (рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x0 , следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот.

Например, для кривой , вертикальной асимптотой будет прямая, так как,. Вертикальной асимптотой графика функцииявляется прямая(осьОу), поскольку

.

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при () функцияимеет конечный предел, равный числуb:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции.

Например, для функции имеем

, .

Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции, а прямая− для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции при(), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при() наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и.

2. Если

и ,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

3. Если

и ,

то прямая (осьОх) является горизонтальной асимптотой графика функции .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

Пример

Найти асимптоты графика функции .

.

1) − точка разрыва второго рода:

, .

Прямая − вертикальная асимптота.

2) ,

,

.

Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

5.6. Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.

  1. Найти область определения функции.

  2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

  3. Исследовать функцию на периодичность.

  4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

  5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или).

  6. Найти асимптоты графика функции.

  7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

  8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

  9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

  1. Область определения функции .

  2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

  3. Функция непериодическая.

  4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: , точка.

С осью Ох: ,,,.

  1. Точки ,иразбивают осьОх на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

  1. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

  1. ,

, ,− критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные в таблицу.

х

-1

1

+

0

0

+

(возрастает)

mах

2

(убывает)

min

-2

(возрастает)

, ;

точка − максимум;

точка − минимум.

  1. , ,,.

при «»;

при «».

х

0

0

+

(выпуклый)

0

(точка перегиба)

(вогнутый)

Точка − точка перегиба.

  1. График функции (рис.5.12)

Рис. 5.12

studfiles.net

Как найти наклонную асимптоту

Содержание

  1. Инструкция

Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.

Инструкция

  • Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
  • Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.
  • Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
  • Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
  • Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞.Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
  • Чтобы найти константу b, то есть смещение нужной нам прямой, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.
  • Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.

completerepair.ru

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.

Замечание:

  • символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
  • символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении "икса" к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении "икса" к плюс бесконечности равен бесконечности:

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число - точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше - угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё - уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

          (1)

и

      (2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0. Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1. Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция - дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой - наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = −3x + 5.

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты - чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 - точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x. Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва - второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x. Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2, x = −2 и y = 2x.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

function-x.ru

19. Асимптоты, их нахождение. Асимптоты оэф. Схема исследования функции и построения ее графика по характерным точкам. Примеры

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точкиграфика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные, наклонные.

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция определена хотя бы в некоторой полуокрестности точкии хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равенили. Тогда прямаяявляется вертикальной асимптотой графика функции.

Таким образом, вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2. Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции. Тогда прямаяесть горизонтальная асимптота графика функции.

Может случиться, что , а, причеми- конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов или, то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределыи. Тогда прямаяявляется наклонной асимптотой графика функции.

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример. Найдите все асимптоты графика функции .

Решение.

Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках.

Так как и(два других односторонних предела можно уже не находить), то прямыеиявляются вертикальными асимптотами графика функции.

Вычислим

(применим правило Лопиталя) =.

Значит, прямая - горизонтальная асимптота.

Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).

Ответ: график имеет две вертикальные асимптоты и одну горизонтальную.

Общие исследование функции y = f(x).

  • Область определения функции. Найти ее область определения D(f) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E(f) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E(f) откладывается до нахождения экстремумов функции.)

  • Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

  • Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определенияD(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

  • Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида (a;+) или (−;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x+или x−соответственно, т.е. найти limxf(x).Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k=limx+xf(x) и b=limx+(f(x)−x).Горизонтальны асимптоты: y = b, где limxf(x)=b.

  • Нахождение точек пересечения графика с осями. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

  • Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

  • Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной f(x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f(x) , мы решаем неравенство f(x)0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f(x)0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

studfiles.net

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции,  и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x, то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) - это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) - это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота  - это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b, где b - число, к которому стремятся значения функции y=f(x), когда x стремится к infty.

То есть b=lim{x{right}{infty}}{f(x)}.

Вертикальная асимптота - это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a. Здесь a - значение переменной x,  при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение x стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: y={ax+b}/{cx+d}.

График дробно-линейной функции - это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция  y={ax+b}/{cx+d} не определена. Поэтому прямая x=-d/c  - вертикальная асимптота.

Степень x в числителе дроби  {ax+b}/{cx+d}  равна степени x в знаменателе. Поэтому при x{right}{infty} числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

lim{x{right}{infty}}{{ax+b}/{cx+d}}=a/c и  уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c.

График дробно-линейной функции y={ax+b}/{cx+d}  - это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a.

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d.

Построим график функции y={x+1}/{3x+2}. Это дробно-линейная функция и ее график  - гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2.

То есть график функции y={x+1}/{3x+2} выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота - это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.

Коэффициенты k и b вычисляются следующим образом:

k=lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}

b=lim{x{right}{infty}}{({f(x)}-kx)}

Найдем асимптоты графика функции y={3-x^2}/{x+2}

1. Начнем с области определения функции. Функция y={3-x^2}/{x+2} не определена в точке x=-2, следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби {3-x^2}/{x+2} на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при x{right}{infty} отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции y={3-x^2}/{x+2} не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях x в числителе и знаменателе дроби).

b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}= lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}= lim{x{right}{infty}}{{3+2x}/{x+2}}=2

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

График функции y={3-x^2}/{x+2}, построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru