Как определять тип дифференциального уравнения первого порядка. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка


Определение типа дифференциального уравнения первого порядка

Для выбора пути решения заданного дифференциального уравнения первого порядка сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, то есть привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если переменные не разделяются непосредственно, то следует проверить, является ли данное уравнение линейным или уравнением Бернулли, то есть имеет ли функция вид или .

К уравнению Бернулли также сводятся уравнения вида (и более общего вида ). Для их решения надо поменять местами переменные и и считать функцией от . В результате для этой функции получим линейное уравнение: (или уравнение Бернулли ). Например, уравнение , если считать аргументом, а – функцией, принимает вид , то есть становится линейным.

Если и этот метод не приводит к цели, следует проверить, не является ли однородной функцией нулевой степени. Наконец, если и этот метод окажется неудачным, надо записать заданное уравнение в виде и проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

 

Уравнения высших порядков

1.Дифференциальное уравнение называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: , а решение задачи Коши требует задания при х = х0 значений функции у и ее производных до (п – 1)-го порядка включительно:

2.Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид

,

то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: Тогда

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

►Пусть Тогда Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:

3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда , то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т.д.

Типовой пример

Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.

►Замена приводит к уравнению откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

 

Линейные дифференциальные уравнения и системы

Уравнение вида

,

где и непрерывные на промежутке функции аргумента , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка.

ТЕОРЕМА

Если на отрезке коэффициенты и правая часть уравнения непрерывны, то на всем этом отрезке существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения с начальными условиями , , … , , где .

Если в данном уравнении , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения и назовем линейным дифференциальным оператором n-го порядка.

Свойства линейного дифференциального оператора

. .

. .

Следствие. Из свойств и следует линейность оператора , то есть

Система из линейно независимых (ЛНЗ) на промежутке решений для ЛОДУ n-го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

ТЕОРЕМА

Пусть функции являются решениями ЛОДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Тогда для того, чтобы система была линейно независима на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

для любого .

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

►Составим определитель Вронского:

.

Следовательно, система функций – линейно независима.◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость следующую систему функций

.

►Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций - линейно независима.◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

►Аналогично, для любого .

Следовательно, система функций – линейно независима.◄

Таким образом, определитель Вронского играет определяющую роль в выяснении линейной зависимости системы функций.

Если определитель Вронского построен на частных решениях дифференциального уравнения, то справедлива формула Лиувилля – Остроградского

,

где – первый коэффициент дифференциального уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений ; его общее решение находится по формуле .

Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остроградского:

.

Типовой пример

Найти общее решение дифференциального уравнения , проверив, что одно его частное решение имеет вид .

►Разделим обе части данного уравнения на :

.

Здесь коэффициенты и непрерывны при , следовательно, решение дифференциального уравнения существует в области . Подставляя , получим тождество, поэтому является решением этого уравнения. Найдем второе частное решение по формуле. Сначала вычислим

.

Произвольную постоянную при вычислении неопределенного интеграла можно не писать, так как нас интересует лишь одно частное решение.

Теперь найдем

.

Заметим, что подынтегральное выражение в последнем интеграле является производной от функции , поэтому

.

(Постоянную здесь также можно не писать.)

Таким образом, второе частное решение исходного уравнения имеет вид

.

Проверим, что два полученных решения линейно независимы. Вычислим определитель Вронского:

при .

В рассматриваемой области , откуда следует, что решения и линейно независимы. Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

,

где и - произвольные постоянные.◄

Читайте также:

lektsia.com

Как определять тип дифференциального уравнения первого порядка — КиберПедия

Ø Прежде всего, нужно знать типы всех уравнений и признаки каждого из них на память.

Ø Затем усвоить алгоритм распознавания типа дифференциального уравнения, который состоит из проверки признаков типов дифференциальных уравнений.

Ниже приводится сводная таблица типов дифференциальных уравнений первого порядка и их признаков.

Как только данное уравнение совпадает по признакам (или общему виду) с одним из типов, его следует решать, воспользовавшись соответствующим этому типу методом.

Чтобы определить дифференциального уравнения, его лучше записать либо в виде

, либо − как проще.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

(2.1)

или

. (2.2)

Общим решением уравнения (2.1) называется функция

(2.3)

Эта функция зависит от переменной x и двух произвольных постоянных , обращает данное уравнение в верное равенство.

Общее решение уравнения (2.1), заданное в неявном виде

, (2.4)

называется общим интегралом.

Частное решение

, (2.5)

где − фиксированные числа, получаются из общего решения (2.3) при фиксированных значениях .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: .

Константы определяются из системы уравнений:

(2.6)

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

Понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (2.2) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такие преобразования уравнения (2.2) называются понижением порядка.

Уравнения вида

Уравнение не содержит .

Уравнение интегрируется подстановкой , которая дает возможность свести его к уравнению с разделяющимися переменными .

Уравнения вида

Уравнение не содержитy.

Положим, как и в предыдущем случае, , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно .

Уравнения вида

Уравнение не содержитx.

Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения , получаем уравнение первого порядка относительно z как функции : .

Ниже приводится сводная таблица трех типов дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, и их признаков.

 

cyberpedia.su

Дифференциальные уравнения первого порядка

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:.Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:,где .

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:.

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :.Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:,то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:.

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель.

Уравнения с разделяющимися переменными

;.Делим на и интегрируем. При получаем:.Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Делаем подстановку . Тогда;.Далее разделяем переменные и интегрируем.Подробнее >>>

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:,где – функция от . Тогда;.Разделяем переменные и интегрируем.Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и :;.Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:;.В результате получаем однородное уравнение в переменных и .Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

1) Метод интегрирующего множителя.Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :;.Далее интегрируем.Подробнее >>>

2) Метод Бернулли.Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :.;.Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:.Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .Подробнее >>>

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:Общее решение однородного уравнения имеет вид:,где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :.Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :.Подставляем в исходное уравнение:;.В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:.Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Подробнее >>>

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкойуравнение Риккати приводится к виду:,где – постоянная;   ;   .Далее, подстановкой:оно приводится к виду:,где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на страницеДифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Решается подстановкой:.Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

При условии.При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:.Тогда.Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:.

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:;;;.Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y'

Уравнения, допускающие решение относительно производной y'

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители:,то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:;;;Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

Здесь – постоянная:,где – корень уравнения.Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

  или   Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда   или   .Далее интегрируем уравнение:;.В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:   или   также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:;.Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решениеПодробнее >>>

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .Подробнее >>>

Использованная литература:В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-05-2016

1cov-edu.ru

10 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка » СтудИзба

Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

Пример. . Заметим, что - решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли   решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим  и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение  уравнения  .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента  радиус-вектора в точке касания.

- решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется  прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени  ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

 - формула Циолковского.

Однородное уравнение.

Правая часть однородного уравнения зависит от отношения :

.

Это позволяет заменить отношение новой переменной  или .

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если , то исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. . , ,  

Обобщенно-однородное уравнение.

Обобщенно-однородное уравнение имеет вид

.

Возможны два случая

1)      Рекомендуется замена ,

, получили однородное уравнение.

2)

Здесь вводят новую функцию  старой переменной x.

, где определяются из пропорциональности строк определителя. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. , случай1).

,      ,    

Получили однородное уравнение.

Пример. , случай 2).

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Линейное уравнение.

Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.

Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.

При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)

Это – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Затем  варьируют произвольную постоянную, полагая .

.

Подставляем в неоднородное уравнение:

.

При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.

, где С – произвольная  постоянная.

.

Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.

Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду   (если при стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.

При решении методом подстановки  полагают

. Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.

 . Подставляем в уравнение:

.

Теперь решают либо уравнение  , определяя отсюда

, либо уравнение , определяя отсюда

. Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции.  В первом случае, остается найти v из .

Теперь =, как и выше.

Во втором случае остается найти u из , .

Теперь =, как и выше.

Пример. .

Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при : 

 .

Решаем однородное уравнение  .

Варьируем произвольную постоянную .

Подставляем в неоднородное уравнение

.

Решение методом подстановки.

.

Уравнение Бернулли.

Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.

Заметим, что при n > 0  - решение уравнения.

Решать уравнение Бернулли можно тремя способами

1) сведение к линейному уравнению заменой

Разделим обе части уравнения на ,

Получили линейное уравнение относительно  .

Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.

2) Решение методом вариации произвольной постоянной.

Решение проводится аналогично линейному уравнению.

Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнения нулевой.

.

Затем ищем решение уравнения в виде , варьируя произвольную постоянную ,

вычисляем  и подставляем в исходное уравнение .

.

Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются, получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Определяя отсюда функцию , подставляем ее в .

3)Решение методом подстановки.

Полагаем , подставляем  в исходное уравнение

.

Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение  . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными .

Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .

Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.

Пример.

Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной.

,

,

Уравнение в полных дифференциалах.

Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

 .

Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Причину такого названия понять легко. Пусть - функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда  .

Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

 , а соотношение  как раз и означает равенство смешанных производных  .

Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию   (она называется потенциалом). Так как  на решениях дифференциального  уравнения, то  потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

1)      ,

+.

Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

Сравнивая оба выражения для , находим функции  и константы.

Если какой-либо из интегралов, например,   не берется или его вычислить сложно, то можно найти +.

Затем, дифференцируя  частным образом по x, надо сравнить  с  и определить функции  и константы.

2)   Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

..

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение   - это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .

Интегрирующий множитель.

Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель , умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

 .

Оказывается, если  (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

Пример. .

Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

Найдите потенциал, покажите, что он равен .

studizba.com

3. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решения Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Простейшим д .у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием

Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде

Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).

Пример.

Решение. Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части уравнения:(общий интеграл дифференциального уравнения).

Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций

,

,

т. е. есть уравнение имеет вид

Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение Действительно, разделив все члены уравненияна произведение,

получим

–дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Для решения его достаточно почленно проинтегрировать

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.

Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:

Второй шаг. Умножим уравнение на , затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной.

Третий шаг. Выражения, полученные при , представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (). Если после этого уравнение примет видто, разделив его на произведение , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).

Рассмотрим уравнения

№ 1.

№ 2.

№ 3.

Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение Получим уравнение

Интегрируя, получим

или

Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

В дифференциальном уравнении № 2 заменим умножим на, получим

общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде

или ,

видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один –

только с y, другой – только с х) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.

Пример № 4. Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слеваРазделим левую и правую части уравнения на произведениеполучим

Проинтегрируем обе части уравнения:

откуда – общий интеграл данного уравнения. (а)

Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде , то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:

или – общий интеграл. (б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х. После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл , (вид (а)), то

Если общий интеграл (вид (б)), то

Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).

Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

studfiles.net

37. Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F− заданная функция указанных аргументов.  Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производнойy'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция fв правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнениявключают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.  В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

  • Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументовy, y', y'';

  • Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядкаФ(x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Случай 1. Уравнение вида  y''= f (x)

Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функцииp(x), такой, чтоy' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка

Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение

и получаем общее решение исходного уравнения.

Случай 2. Уравнение вида  y''= f (y)

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функциюp(y), полагаяy' = p(y). Тогда можно записать:

и уравнение принимает вид:

Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравненияy' = p(y), то есть функциюy(x).

Случай 3. Уравнение вида  y''= f (y' )

В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение

которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными pиx. Интегрируя, находим функциюp(x) и затем функциюy(x).

Случай 4. Уравнение вида  y''= f (x,y' )

Используем подстановку y' = p(x), гдеp(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка

Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка

и находим общее решение y(x).

Случай 5. Уравнение вида  y''= f (y,y' )

Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагаяy' = p(y). Дифференцирование этого равенства поxприводит к уравнению

В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка

Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка

и определяем общее решение y(x).  Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.

Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y''

Если левая часть дифференциального уравнения

удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого kсправедливо соотношение

то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки

После нахождения функции z(x) исходная функцияy(x) находится интегрированием по формуле

где C2− постоянная интегрирования.

Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной

Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производнойy''и удовлетворяющую равенству

то решение исходного уравнения представляется интегралом

Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.  В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

studfiles.net

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

,

где и - непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

.  (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

,

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

.

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

.

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере - обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная "игрека" ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на "икс" и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная "игрека" ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

или

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию "игрека" в левую часть и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

.

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

.

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых "демо"-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Поделиться с друзьями

function-x.ru