Найти углы треугольника по трем сторонам. Определить углы треугольника по сторонам


По сторонам треугольника найти его углы

Чтобы по сторонам треугольника найти его углы, нужно применить теорему косинусов.

po storonam treugolnika nayti ego uglyi

Рассмотрим треугольник ABC.

Обозначим BC=a, AC=b, AB=c,

∠A=α, ∠B=β, ∠C=γ.

По теореме косинусов

    \[B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos \angle A\]

    \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \]

откуда

    \[\underline {\cos \alpha = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \]

Аналогично как следствие из теоремы косинусов находятся косинусы других углов треугольника:

    \[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B\]

и

    \[\underline {\cos \beta = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}} \]

    \[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\]

и

    \[\underline {\cos \gamma = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \]

 

Прежде чем рассмотреть на конкретных примерах, как по сторонам треугольника найти его углы, выясним, как по таблицам Брадиса по значению синуса или косинуса определить угол.

Теорема косинусов

www.treugolniki.ru

Решение треугольников [wiki.eduVdom.com]

Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.

Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.

Пример 1. В треугольнике даны сторона $\alpha = 5$ и два угла $\beta = 30°\,; \gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.

Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $\alpha$ находим: $$ \alpha = 180° - \beta - \gamma = 180° - 30° - 45° = 105° $$ Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: $$ b = a \bullet \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,500}{0,966} \approx 2,59 \\ c = a \bullet \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,707}{0,966} \approx 3,66 $$

Пример 2. В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $\gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\bullet \cos \gamma} = \sqrt{144 + 64 - 2 \bullet 12 \bullet 8 \bullet 0,500 } = \sqrt{112} \approx 10,6 $$ Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $\cos \alpha$ и сам угол $\alpha$ и, значит, угол $\beta$ : $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0,189 \\ \text{откуда } \alpha \approx 79°\,; \\ \beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 180° - 79° - 60° = 41° $$

Пример 3. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $\alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение. По теореме синусов имеем: $$ \sin \beta = \frac{b}{a} • \sin \alpha = \frac{8}{6} • \sin 30° = \frac{8}{6} • \frac{1}{2} \approx 0,667 $$

Этому значению синуса соответствуют два угла: $\beta _1 \approx 42°\text{ и }\beta _2 \approx 138°$ .

Рассмотрим сначала угол $\beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ \gamma _1 = 180° - \alpha - \beta \approx 108°$ и по теореме синусов третью сторону: $$ c = \frac{a \sin \gamma _1}{\sin \alpha} \approx 6 \bullet \frac{\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 6 \bullet \frac{0,951}{0,500} \approx 11,4 $$ Аналогично по углу $ \beta _2 \approx 138°$ находим $\gamma _2 \approx 12°\text{ и }c_2 \approx 2,49$ .

Примечание. Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных, например при $\alpha \geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь.

Пример 4. Даны три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.

Решение. Углы находятся по теореме косинусов: $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7}{8} = 0,875 $$ , откуда $\alpha \approx 29°$ .

Аналогично находится $\cos \beta = 0,688$ , откуда $\beta \approx 47°\text{ и }\gamma \approx 180° - 47° - 29° = 104°$ .

wiki.eduvdom.com

Найти углы треугольника по трем сторонам

Тема: 

Линейные алгоритмы Теоретический материал к задаче

Задача: 

По трем заданным сторонам треугольника (вводятся с клавиатуры) вычислить его углы в градусах. Вывести на экран найденные углы и их сумму (для проверки правильности вычисления).

Алгоритм решения задачи: 

Зная три стороны треугольника, можно вычислить, например, косинусы углов. По известным косинусам можно найти сами углы, используя функцию acos (арккосинус).

Поскольку углы в Basic-256 измеряются в радианах, их необходимо перевести в градусы с помощью функции degrees().

Третий угол можно вычислить, вычтя из 180 градусов два известных угла. Однако для проверки правильности вычисления в коде ниже все три угла вычисляются через косинус.

Программа на языке программирования Basic-256: 

# по трем сторонам найти углы треугольника input "Стророна a = ", a input "Стророна b = ", b input "Стророна c = ", c decimal 2 cos_a = (c^2 + b^2 - a^2) / (2 * c * b) ang_a = degrees(acos(cos_a)) print "Угол A = " + ang_a cos_b = (a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c) ang_b = degrees(acos(cos_b)) print "Угол B = " + ang_b cos_c = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b) ang_c = degrees(acos(cos_c)) print "Угол C = " + ang_c print "Сумма углов = " + (ang_a + ang_b + ang_c) + " градусов"

Пример работы программы: 

Стророна a = 67 Стророна b = 45 Стророна c = 77 Угол A = 60 Угол B = 35.57 Угол C = 84.43 Сумма углов = 180 градусов

Вопросы и замечания: 

Имеется в виду, что напротив стророны a лежит угол A и т. д.

basicode.ru

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит, в условии задачи имеются в виду противоположные углы. Сумма всех углов параллелограмма = 360 градусов, тогда сумма оставшихся 2-х углов = 360 — 28 = 332 градуса, а один угол = 332/2 = 166 градусов. Комментарии.

Совет 1: Как найти углы треугольника по трем его сторонам

    Как найти углы треугольника по трем его сторонам Как определить периметр треугольника Как определить вид треугольника
    базовое знание тригонометрии

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Вместо этих формул можно воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения Сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, можно найти синус другого угла по более простой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол можно рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать Неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Математически (см. рисунок) это выражается системой

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют Вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь Теоремой косинусов, частным случаем которой является Теорема Пифагора (см. рисунок)

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Решение треугольника по трем сторонам

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

На этой странице можно найти все углы треугольника онлайн по трем сторонам с подробным решением.

как по трем сторонам треугольника найти угол

poiskvstavropole.ru