Сколько граней у параллелепипеда и что это за фигура. Параллелепипед фигура


Параллелепипед. Свойства и формулы. Примеры решения задач

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

Параллелепипед

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

  • прямой;
  • наклонный;
  • прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Свойства параллелепипеда

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

  1. Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой. 1 свойство параллелепипеда
  2. Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными. 2 свойство параллелепипеда
  3.  4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело. 3 свойство параллелепипеда
  4. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений. 4 свойство параллелепипеда

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

объем параллелепипеда

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

боковая площадь параллелепипеда

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Фото для задачи 1

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

Решение задания 1

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.

Фото для задачи 2

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Сколько граней у параллелепипеда и что это за фигура

Начиная проходить стереометрию в школе, не каждый может сразу сориентироваться в пространстве: это же не плоскость. Иногда даже самые простые вопросы ставят в тупик. К примеру, сколько у параллелепипеда граней? На это не так легко ответить с первого раза, ибо большинство из нас, скорее всего, начнет считать, представляя фигуру у себя в голове. В этой статье мы разберемся, что такое параллелепипед, почему его так назвали и сколько граней у параллелепипеда. Все это и многое другое вы узнаете из этой статьи.

Сколько граней у параллелепипеда и что это такое

Основываясь на названии, можно уже сделать вывод, что есть параллельные линии. Так, параллелепипед – объемная фигура, а точнее, многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых является параллелограммом.

Параллелепипед классический

Что же такое параллелограмм? Это четырехугольник в планиметрии, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол (остальные автоматически равняются 90 градусам), является прямоугольником. Если все стороны еще и равны, а углы прямые, то это квадрат.

Из определения мы поняли, сколько граней у параллелепипеда. Ответ: их 6.

А сколько граней у параллелепипеда прямоугольного и квадратного? На самом деле у всех типов этих многогранников одинаковое число граней: во всех случаях их шесть.

Прямоугольный параллелепипед – многогранник, грани которого не параллелограммы, а прямоугольники.

У квадратного вместо параллелограммов - квадраты. Такой параллелепипед называется кубом. У него равны все грани, ребра и диагонали.

Параллелепипед куб

Заключение

Итак, в этой статье мы рассмотрели, что такое параллелепипед, из чего он стоит и сколько граней у параллелепипеда. А также какие есть разновидности.

Геометрия – точная и интересная наука, которую стоит изучать, ведь она пригодится в жизни, если нужно будет что-либо спроектировать. Не ленитесь, изучайте новый материал!

fb.ru

Что такое параллелепипед?

В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.

Определение

Параллелепипед в трехмерном пространстве – это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.

Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.

Разновидности фигуры

Существует всего две разновидности параллелепипедов:

  1. Прямоугольные, все боковые грани которых находятся под углом 90о к основанию и являются прямоугольниками.
  2. Наклонные, боковые грани которых расположены под определенным углом к основанию.

На какие элементы можно разделить эту фигуру?

  • Как и в любой другой геометрической фигуре, в параллелепипеде любые 2 грани с общим ребром зовутся смежными, а те, что его не имеют, являются параллельными (исходя из свойства параллелограмма, имеющего попарно параллельные противоположные стороны).
  • Вершины параллелепипеда, не лежащие на одной грани, зовутся противоположными.
  • Отрезок, соединяющий такие вершины, является диагональю.
  • Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, соединяющихся в одной вершине, являются его измерениями (а именно, его длиной, шириной и высотой).

Свойства фигуры

  1. Он всегда построен симметрично по отношению к середине диагонали.
  2. Точка пересечения всех диагоналей делит каждую диагональ на два равных отрезка.
  3. Противолежащие грани равные по длине и лежат на параллельных прямых.
  4. Если сложить квадраты всех измерений параллелепипеда, полученное значение будет равно квадрату длины диагонали.

Расчетные формулы

Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.

Для произ

elhow.ru

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154. Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.

На рисунке 155 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями. Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда, вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда. Например, отрезки  AB, BC, A1B1 − ребра, а точки B, A1, C1 − вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 155).

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.

Грани AA1B1B и DD1C1C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, а также прямоугольники AA1D1D и BB1C1C.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

На рисунке 155 грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина, ширина, высота (рис. 156).

 

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда.

На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.

С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.

Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159), и склеить.

Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.

Одним из видов многогранника является пирамида.

Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.

На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды.

Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163) и т.д.

Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.

На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды. Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.

На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.

Многогранники являются примерами геометрических тел.

На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.

reshalka.com

Параллелепипед [wiki.eduVdom.com]

Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы. См.Рис.1.

Рис.1

Свойства параллелепипеда:

  • Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

  • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Параллелепипед является многогранником.

Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым.

Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным. Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом.

Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2.

Рис.2

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c — ребра.

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d2 = а2 + b2 + c2 .

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  • В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

  • Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

  • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

  • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a3, где a — ребро куба.

Пример №1

Пример №2

demo 2014 c2 прямоугольный параллелепипед

wiki.eduvdom.com

Свойства параллелепипеда, с примерами

Параллелепипеды бываю прямыми (боковое ребро перпендикулярно основанию) и наклонными.

Параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными (AA_{1}B_{1}B и DD_{1}C_{1}C), в противном случае – смежные (AA_{1}B_{1}B и BB_{1}C_{1}C).

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю (B_{1}D) параллелепипеда.

Расстояние между плоскостями оснований называют высотой параллелепипеда. В прямом параллелепипеде высота совпадает с боковым ребром.

Свойства параллелепипеда

  1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
  2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

        \[B_{1}D^{2}=AB^{2}+AD^{2}+BB_{1}^{2}\]

  4. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

        \[V=S_{\text{basic}}\cdot H\]

  5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро

        \[S_{\text{basic}}=P_{sec}\cdot l\]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Что такое параллелепипед

Под параллелепипедом подразумевается такая объемная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а все грани ее образованы параллелограммами. Всего у параллелепипеда их шесть. Необходимо разобрать подробнее, что же представляет из себя параллелепипед.

Существует несколько разновидностей параллелепипедов:Прямоугольный параллелепипед - это фигура, у которой все грани образованы прямоугольниками.Прямой параллелепипед - это такой параллелепипед, у которого только боковые грани - прямоугольники.Наклонным считается параллелепипед, у которого боковые грани не перпендикулярны основаниям. Отдельно стоит поговорить о кубе. Куб - это такой параллелепипед, у которого все без исключения грани образованы квадратами. В куб можно вписать шар или наоборот - описать шар вокруг данного куба. Параллелепипед обладает рядом свойств, которые стоит отметить. Во-первых, параллелепипед симметричен только лишь относительно середины любой своей диагонали. Во-вторых, если провести между всеми противоположными вершинами параллелограмма диагонали, то все они будут иметь одну точку пересечения. Далее стоит обратить внимание на то, что противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.Объем параллелепипеда найти очень легко. Если он прямой, необходимо умножить площадь основания на его высоту. Если параллелограмм прямоугольный, то необходимо перемножить между собой все три его измерения: длину, ширину и высоту. Объем куба находится проще всего. Достаточно лишь возвести в третью степень его длину. В быту параллелепипеды встречаются крайне часто. Достаточно вспомнить кирпич, форму ящика стола или спичечный коробок. Каждый сможет привести свои примеры. В школьной программе изучению параллелепипеда посвящено много уроков. Первый из них начинается с демонстрации небольшой модели прямоугольного параллелепипеда. Далее постепенно ученики узнают, как можно внутрь параллелепипеда вписывать такие фигуры, как шар, пирамида и многие другие. Параллелепипед является простейшей трехмерной фигурой.

completerepair.ru