практика в школе 4- 5 курс / практика 5 курс / информатика / перевод дробных чисел. Перевод десятичных дробей в двоичную систему


перевод дробных чисел

Наименование УО: МБОУ СОШ с. Захаровка

Учитель: Вавин Александр Викторович

Предмет: Информатика и ИКТ

Класс: 11А класс

Тема урока: Перевод дробных чисел из одной СС в другую

Цели урока:

  1. Научиться переводить дробные числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную;

  2. Научиться оформлять алгоритм перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую;

  3. Отработать полученные знания на практике;

  4. Развивать мышление, логику, память.

Тип урока: Изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент: приветствие. (2 мин)

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих.

II. Постановка темы и целей урока.(1 мин)

III. Фронтальный опрос. (3 мин)

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую?

IV. Решение примеров на повторение (5 минут)

Переведите числа 19,44, 129 из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную.

V. Объяснение нового материала. (15 мин)

Алгоритм перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую :

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной  дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно  умножать  данное  число  и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения  не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,  привести в соответствие с алфавитом  новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

           Пример 1.  Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.

0,

 65625

*      8

5

 25000

*      8

2

 00000

Получаем: 0,6562510=0,528

         Пример 2. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.710.

0,

 7

*2

1

 4

*2

0

 8

*2

1

 6

*2

1

 2

        . . .

        Очевидно, что  этот процесс может продолжаться бесконечно,  давая все новые и новые знаки  в  изображении  двоичного  эквивалента  числа 0,710. Так,  за четыре шага мы получаем число 0,10112, а за семь шагов число 0,10110012,  которое является более точным представлением  числа 0,710 в двоичной системе счисления,  и т.д.  Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую:

        Перевод произвольных чисел,  т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,  осуществляется в два этапа.  Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

VI. Решение задач у доски. (6 минут)

          Пример 1. Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть:       

Переводим дробную часть:

17   2

  1   8  2

       0  4  2

           0  2   2

               0   1

0,       25

         ×2

0        50

         ×2

1        00

Получаем: 17,2510=1001,012

         Пример 2.  Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему.

Переводим целую часть:      

Переводим дробную часть:

124  8

    4   15   8

           7   1

0,        25

           ×8

2         00

Получаем: 124,2510=174,28

      

Пример 3.  Перевести число 0,6562510 в  шестнадцатеричную  систему счисления.

0,

 65625

*     16

10

(А)

 50000

*     16

8

 00000

Получаем: 0,6562510=0,А816

        Пример 4.  Перевести  десятичную  дробь 0,562510 в двоичную систему счисления.

0,

5625

*    2

1

1250

*    2

0

2500

*    2

0

5000

*    2

1

0000

Получаем: 0,562510=0,10012

VII. Самостоятельная работа. (5 мин)

Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

1 вариант: 243,11

2 вариант: 275,13

Самопроверка и выставление оценок в тетради.

VIII.Подведение итогов и выставление отметок. (3 минуты)

Давайте подведем итог урока. Итак, что открыли для себя нового на сегодняшнем уроке?

IX. Домашнее задание. (4мин)

Перевести числа из десятичной системы счисления в данную:

  1. 105, 34 и 358, 25 в двоичную

  2. 500, 12 и 675,24 в восьмеричную

  3. 167,001 и 113, 005 в шестнадцатеричную

Давайте подведем итог урока. Итак, что открыли для себя нового на сегодняшнем уроке?

Всем спасибо за урок, до свидания! (1мин)

studfiles.net

Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления

Автор - Лада Борисовна Есакова.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :

1

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:

Ответ:

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение:

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

2

Ответ:

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение:

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

3

Ответ:

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение:

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

4

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

5

Соединим целую и дробную части:

14,12510 = 1110,0012

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Лабораторная работа №1

Тема: Система счисления. Перевод целых десятичных чисел в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. (1 час), СРСП(1 час).

Десятичная система счисления

Название «десятичная» объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например, запись 526 означает, что число состоит из 5 сотен, 2 десятков и 6 единиц, Цифра 6 стоит в разряде единиц. Цифра 2 - в разряде десятков цифра 5-в разряде сотен.

Это число записать в виде суммы:

526=5*102+2*101+6*100

в этой записи число 10-основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен – двум и т.д.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5*102 + 5*101+ 5*10°+ 5*10-1+5*10-2.:

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2. Полученное частное снова разделить на 2 и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.

Решение:

8912445, 1

4452222, 1

2222111, 0

111255, 1

55227, 1

27213, 1

1326, 1

623, 0

321, 1

1:2=0, 1 (старшая цифра двоичного числа)

Записываем в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Ответ: 89110=11011110112

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,322 в двоичную систему счисления.

Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

Решение:

0,32210 8,8310

0.322*2=0.644 0 8:2=4 остаток 0

0.644*2=1.288 1 4:2=2 остаток 0

0.288*2=0.576 0 2:2=1 остаток 0

0.576*2=1.152 1 1:2=0 остаток 1

Ответ:

0,322210=0.01012 0.83*2=1.66 целая часть равна 1

0.66*2=1.32 целая часть равна 1

0.32*2=0.64 целая часть равна 0

0.64*2=1.28 целая часть равна 1

Ответ: 8,83=1000,1101

studfiles.net

1. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Каждый знает, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. Обыкновенная дробь представляет собой отношение целого числа к натуральному. Поэтому ее перевод в другую систему счисления трудности не представляет: надо отдельно перевести в новую систему счисления числитель и знаменатель, затем записать их отношение. Запись числа десятичной дробью — это распространение позиционного принципа вправо от разряда единиц. Вспомните: при переходе на один разряд влево «вклад» цифры увеличивается в \(10\) раз, а при переходе на один разряд вправо уменьшается в \(10\) раз. Так что запись \(1,38054\) обозначает число: 1⋅100+3⋅10−1+8⋅10−2+0⋅10−3+5⋅10−4+4⋅10−5.

Легко понять, что и здесь вместо числа \(10\) можно использовать любое другое натуральное число \(b\), большее \(1\). Скажем, 1,38054b=1⋅b0+3⋅b−1+8⋅b−2+0⋅b−3+5⋅b−4+4⋅b−5.

По аналогии с десятичными дробями будем называть такую запись дробного числа b-ичной дробью. Так же как и для целых чисел, каждая цифра, используемая в записи b-ичной дроби, должна быть меньше \(b\). Как же переводить десятичную дробь в b-ичную? Для того что-бы найти алгоритм, запишем b-ичную дробь c=0,a1a2...an в виде суммы разрядных слагаемых: c=a1⋅b−1+a2⋅b−2+...+an−1⋅bn−1+an⋅b−n.

 

Из этой записи видно, что целая часть числа bc=a1,a2...an дает первую цифру после запятой в указанном представлении числа \(c\). Выделив в \(bc\) дробную часть, поступим с ней точно так же   умножим на \(b\). Таким образом мы получим еще одну цифру — a2. И так далее. Вот пример перевода десятичной дроби \(0,36\) в пятеричную систему:

 

4.png

 

Ответ: 0,145.

 

А теперь попытаемся перевести ту же дробь в семеричную систему счисления:

 

1.png

 

Обратите внимание: после четвертого умножения мы снова получили дробь \(0,36\). Это значит, что далыпе процесс будет повторяться и никогда не закончится! Тем самым после перевода числа \(0,36\) в семеричную систему счисления получается бесконечная периодическая дробь: 0,23432343...7= 0,(2343)7. При переводе конечной b-ичной дроби в десятичную систему тоже может получиться бесконечная дробь. К примеру, запись 0,13 представляет одну треть и, следовательно, в десятичной системе будет выглядеть как бесконечная десятичная дробь 0,33333...=0,(3). Как вы знаете, бесконечные дроби нередко округляют, оставляя такое количество разрядов, которое обеспечивает необходимую точность.

Напомним, что в десятичной системе правило округления таково: если цифра в разряде, с которого производится округление, меньше \(5\), то цифра в предшествующем разряде не меняется, в противном случае она увеличивается на \(1\).

Для b-ичной дроби правило нужно модифицировать: если цифра в разряде, с которого производится округление, меньше \(b/2\), то цифра в предшествующем разряде не меняется, в противном случае она увеличивается на \(1\).

Например, дробь 0,23432343...7 при округлении до третьего разряда после запятой дает 0,2347, а при округлении до шестого разряда после запятой даёт 0,2343247.

Источники:

Гейн А. Г., Ливчак А. Б., Сенокосов А. И. Информатика и ИКТ.  11 класс. М. : Просвещение, 56 с.

www.yaklass.ru

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

Основные понятия

Система счисления – это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.

Используются три типа систем счисления:

· позиционная – представление числа зависит от порядка записи цифр.

· непозиционная – представление числа не зависит от порядка записи цифр

· смешанная – нет понятия «основание»: либо оснований несколько, либо оно вычисляемое

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙102 + 5∙101 + 7∙100 + 7∙10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

 

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

 

Таблица 1. Эквиваленты чисел в различных системах счислений

Системы счисления
Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
A
B
C
D
E
F

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

a. в двоичную:

7510 = 1 001 0112 2610=110102

 

 

b. в восьмеричную:

7510= 1138 24110=3618

 

c. в шестнадцатеричную:

7510= 4B16 362710=Е2В16

 

 

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

a. в двоичную:

0,3510 = 0,010112 0,562510=0,10012

или

0,84710=0,11012

 

b. в восьмеричную:

 

0,3510 = 0,2638 0,6562510=0,528

 

c. в шестнадцатеричную:

 

 

0,3510= 0,5916 0,84710=0,D8D16

megaobuchalka.ru

Как перевести десятичные дроби в двоичную систему

Содержание

  1. Инструкция

Как перевести десятичные дроби в двоичную систему

Трудно представить себе современную жизнь без двоичного кода. Даже те, кто не увлекается математикой или компьютерами, так или иначе используют эту систему ежедневно, пользуясь бытовой техникой.

Инструкция

  • Перевод чисел из различных систем счисления в двоичную сводится к их представлению в виде различных комбинаций двух цифровых символов этой системы – 0 и 1. Для перевода из десятичной системы в двоичную чаще всего используется метод последовательного деления на 2, где 2 – это разряд двоичного кода аналогично 10 в десятичном счислении.
  • Однако этот метод подходит при переводе целых чисел, для дробей же используют, напротив, умножение. А именно умножают дробную часть на 2 последовательно до тех пор, пока не появится целая часть. При этом удачное умножение, дающее в результате число, большее 1, приносит итоговому двоичному числу цифру 1. А неудачное, после которого число все еще меньше 1, дает цифру 0. При этом цифры дроби в двоичном виде записываются после запятой также, как в исходной десятичной.
  • Рассмотрим этот немудреный способ на конкретном примере. Для начала возьмите простую десятичную дробь 0,2. Умножайте последовательно на 2:0,2*2 = 0,4 => 0,0_2;0,4*2 = 0,8 => 0,00_2;0,8*2 = 1,6 => 0,001_2;
  • Отбросьте целую часть и продолжайте те же действия:0,6*2 = 1,2 => 0,0011_2;Снова отбросьте целую часть и вы вернетесь к числу 0,2. Двоичная дробь оказалась цикличной, т.е. повторяющейся, сокращенно запишите:0,2_10 = 0,(0011)_2, где скобки указываются на повторяемость одной и той же группы цифр.
  • Для перевода в двоичную систему дроби с целой частью сначала переводится именно она, а потом уже число после запятой. Например, переведите число 9,25.Для перевода целой части воспользуйтесь методом последовательного деления:9/2 = 4 и 1 в остатке;4/2 = 2 и 0 в остатке;2/2 = 1 и 0 в остатке;½ = 0 и 1 в остатке.Запишите полученные остатки справа налево: 9_10 = 1001_2.
  • Теперь переведите дробную часть:0,25*2 = 0,5 => 0;0,5*2 = 1 => 1.На этот раз вам повезло, дробь оказалась не цикличной. Запишите итог:9,25_10 = 1001,01_2.

completerepair.ru

Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток.

Решение:

891:8=111 3

111:8=13 7

13:8= 1 5

1: 8=0 1

(старшая цифра двоичного числа).

Ответ: 89110=15738

Перевод десятичных чисел в шестнадцатиричную систему счисления

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

Пример: Число 891 перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение: остаток

891:16=55 11

55:16=3 7

3:16=0 3

89110=37B16

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задание: Представьте виде суммы степеней основания числа:

  1. 42510 8. 3678,89810

  2. 25610 9. 7,2908310

  3. 85210 10. 0,003210

  4. 124310 11. 2,358910

  5. 256910 12. 48,96510

  6. 456810 13. 56,89710

  7. 1256810 14. 48,97510

2. Задание:Переводите десятичные числа в двоичную систему счисления:

  1. 32310 8. 12510

  2. 15010 9. 22910

  3. 28310 10. 8810

  4. 42810 11. 25510

  5. 31510 12. 32510

  6. 18110 13. 25910

  7. 17610 14. 65210

3. Задание:Переводите дробные десятичные числа в двоичную систему счисления:

  1. 0,32210 8. 37,2510

  2. 150,700610 9. 206,12510

  3. 283,24510 10. 0,38610

  4. 0,42810 11. 10,10310

  5. 315,07510 12. 8,8310

  6. 181,36910 13. 14,12510

  7. 176,52610 14. 15,7510

studfiles.net