Как найти период тригонометрической функции. Период тригонометрической функции


как найти период функции

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}}\]

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 3 \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}.\]

    \[2)y = \frac{2}{7}\cos (\frac{\pi }{5} - \frac{x}{{11}})\]

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| { - \frac{1}{{11}}} \right|}} = 2\pi \cdot 11 = 22\pi .\]

    \[3)y = 0,3tg(\frac{{5x}}{9} - \frac{\pi }{7})\]

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {\frac{5}{9}} \right|}} = \frac{{9\pi }}{5}.\]

    \[4)y = 9ctg(0,4x - 7)\]

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {0,4} \right|}} = \frac{{10\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{2}.\]

 

www.uznateshe.ru

Периодичность тригонометрических функций

Величины углов (аргументы функций): \( \alpha \) Тригонометрические функции: \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \), \( \sec \alpha \), \( \csc \alpha \) Целые числа: \( n \)

Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число \(T\) (период), что на всей области определения функции выполняется равенство \( f(x)=f(x+T) \).

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

\( \sin x,\;\cos x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( 2\pi: \)

\( \sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

\( \text{tg}x,\;\text{ctg}x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( \pi: \)

\( \text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

Тригонометрические функции \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( 2 \pi \).

Тригонометрические функции \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( \pi \).

Наименьший период функции синус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sin \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sin \alpha \)

Наименьший период функции косинус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \cos \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \cos \alpha \)

Наименьший период функции тангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \tan \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \tan \alpha \)

Наименьший период функции котангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \cot \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \cot \alpha \)

Наименьший период функции секанс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sec \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sec \alpha \)

Наименьший период функции косеканс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \csc \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \csc \alpha \)

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Периодичность тригонометрических функций: четные и нечетные

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Свойства четности и периодичности

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Периодичность тригонометрических функций

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Тригонометрические функции: свойства и их графики Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства тригонометрических функций: гармонические колебания

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Тригонометрия

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Знаки тригонометрических функций

      Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.1. Знак sin αРис.2. Знак cos α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.3. Знак tg αРис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

      Рассмотрим рисунок 5.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.5

      Если луч OM1, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или 2π радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

      Поворачивая луч  OM1 на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

      В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число 2π .

      Теперь рассмотрим рисунок 6.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.6

      Если луч OM1, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM2 . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

      Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

      Следствие. Поскольку

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

то справедливы формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

      В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

      Рассмотрим рисунок 7.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.7

      На этом рисунке

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

      Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

«Периодичность тригонометрических функций»

страница 1 Интегрированный урок по математике и информационно-коммуникационным технологиям по теме:

«Периодичность тригонометрических функций».

Х класс.

Цели урока:

  • демонстрация возможностей работы с интерактивной доской;
  • повторение свойств функций;
  • знакомство с определением периода функции;
  • рассмотрение правил нахождения периодов тригонометрических функций;
  • рассмотрение заданий ЕГЭ по нахождению периодов функций.
Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся

Учащиеся должны знать:

  • вид тригонометрических функций и их свойства;
  • назначение программы «Графопостроитель» и способы создания графиков функций в ней;
Учащиеся должны уметь:
  • строить графики тригонометрических функций;
  • строить графики функций в программе «Графопостроитель»;
Учащиеся должны иметь навыки:
  • работы с компьютерами и периферийными устройствами;
  • запуска программ в среде Windows;
  • работы в программе «Графопостроитель»;
  • работы с интерактивной доской.
Формы организации учебной деятельности:
  • фронтальная работа с классом;
  • индивидуальная тестовая работа за компьютером;
  • групповая самостоятельная работа за компьютером;
  • индивидуальная работа с использованием интерактивной доски.
Используемое программное обеспечение:
  • Операционная система Windows;
  • Программа «Графопостроитель»

План урока:

  1. Повторение свойств функций с использованием тренажера и интерактивной доски.
  2. Объяснение нового материала:
    1. определение периодической функции;
    2. доказательство периодичности тригонометрических функций;
    3. нахождение периодов функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций;
  3. Закрепление изученного материала:
    1. Решить №62,63,65.
    2. Построение графиков функций в программе «Графопостроитель».
    3. Объяснение заданий ЕГЭ.
  4. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей проверкой.
  5. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока.
Ход урока
  1. Повторение свойств функций
    1. Устно отвечаем на вопросы, используя тренажер: называем область определения функций , . Среди заданных функций находим четные, нечетные.
    2. На интерактивной доске по данному фрагменту достраиваем графики четной или нечетной функции.
    3. На доске записана функция . Назвать ее свойство (нечетная). Изменить ее запись с тем, чтобы она стала четной . Аналогично для функций , . Можно привести несколько вариантов ответа.
  2. Объяснение нового материала
    1. В природе и технике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются по истечении некоторого промежутка времени. Периодически с периодом в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца, с периодом в 1 лунный месяц меняются фазы луны и т.д.
Определение. Число Т, отличное от нуля, называется периодом функции f, если для любого х, при котором эта функция определена, выполняются равенства

.

Периоды тригонометрических функций. (п.4.2) - прочитать и разобрать по учебнику.

Записать в тетрадях:

У периодической функции бесконечно много периодов: если Т – основной период, то и числа вида kТ () также являются периодом.

Период функций равен , период функций , равен .
    1. Доказать, что функция имеет период .
Учащийся доказывает у доски

а) используя формулы приведения;

б) используя график функции.

Обобщая, формулируется правило построения периодической функции:

Для построения периодической функции с периодом Т, нужно сначала построить часть графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту часть по оси х вправо и влево

на Т, 2Т, 3Т и т.д.

На интерактивной доске показывается построение периодической функции.

    1. Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.

Наименьший положительный период для функций , равен , а для функций , имеем .

Но, сумма двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, не обязательно имеет тот же период: например: и имеют одинаковый положительный период, а их сумма не имеет наименьшего положительного периода.

  1. Закрепление изученного материала.
    1. Решение у доски и в тетрадях:
№62. Докажите, что число Т является периодом функции f , если:

а) , .

Решение. Найдем период . Следовательно, период функции равен . №64 (б, в). Найдите наименьший положительный период каждой из функций:

б) ;

в) .

Устно рассматриваем решение.

№65(а). Найдите наименьший положительный период функции: .

Решение. а)

№65 (б, в). Устно.

б) ;

в) .

    1. На ноутбуках с использованием программы «Графопостроитель» учащиеся строят графики тригонометрических функций:, , и по графикам сравнивают периоды функций.
    2. Обзор заданий, составленных в виде тестов, которые могут быть предложены на ЕГЭ. Задания группы Б приготовлены на интерактивной доске таким образом, что сначала появляется задание, а затем последовательно открывается решение задачи.
  1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен 10 и . Найдите значение выражения .
  2. Периодическая функция с периодом, равным 10, определена на множестве всех действительных чисел, причем на отрезке она совпадает с функцией . Найдите значение выражения .
  3. Изобразите график периодической функции с периодом равным 3. Составьте вопросы и ответьте на них (например, найти различные значения для выражений, которые придумывают учащиеся с учетом периодичности функции.)
  4. Доказать, что функция не является периодической. (Объясняет учитель с использованием интерактивной доски.)
Для доказательства непериодичности какой-либо функции достаточно найти «неповторимую» точку графика, т.е. найти значение х такое, что точка графика с абсциссой х обладает свойством, которым не обладает никакая другая точка графика. Для данной функции таким значением является, например, . Действительно, из свойства четности функции следует, что единственный корень уравнения , при прохождении которого функция не меняет знак. Демонстрируется график функции на интерактивной доске.

  1. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей проверкой.
Учащиеся выполняют работу на ноутбуках, по окончании которой выдается количество правильно решенных заданий.

1. Найдите наименьший положительный период функции

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Найдите наименьший положительный период функции

1) 2) 3) 4) .

3. Найдите наименьший положительный период функции

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Исследовать следующие функции на периодичность и найти наименьший положительный период, если он существует.

1. ;

1) не сущ.; 2) 6; 3) ; 4) /3.

2) ;

1) не сущ.; 2); 3) ; 4) .

с) ;

1) не сущ.; 2) ; 3) ; 4) .

g) .

1) не сущ.; 2) ; 3) ; 4) .

  1. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока.
На уроке мы проделали следующую работу:
  • познакомились с новым свойством функции – периодичность,
  • изучили правила нахождения периодов функций и применили их для решения задач,
  • учились строить графики функций, используя свойство периодичности,
  • провели самостоятельную работу по тесту, контролирующему знания по нахождению периодов функций.
Наиболее успешная работа отдельных учащихся на уроке была отмечена учителем.

Домашнее задание: п. 4.2, №№ 66, 67, 68(а, г), построить график функции на промежутке .страница 1 скачать файл

Смотрите также:

«Периодичность тригонометрических функций» 58.68kb. 1 стр.

Тригонометрия 109.41kb. 1 стр.

Алгебра и начала анализа, 10 класс 28.46kb. 1 стр.

moglobi.ru

Как найти период тригонометрической функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти период тригонометрической функции

Тригонометрические функции периодичны, то есть повторяются через определенный период. Благодаря этому достаточно исследовать функцию на этом промежутке и распространить найденные свойства на все остальные периоды.

Инструкция

  • Если вам дано простое выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-либо число, а она сама не возведена в какую-либо степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec смело ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Например, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.
  • Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-либо число, то, чтобы найти период данной функции, разделите стандартный период на это число. Например, вам дана функция у= sin 5х. Стандартный период для синуса – 2П, разделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть искомый период данного выражения.
  • Чтобы найти период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите стандартный период в два раза. Например, если вам дана функция у=3 cos^2х, то стандартный период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в любой степени периодичны П.
  • Если вам дано уравнение, содержащее произведение или частное двух тригонометрических функций, сначала найдите период для каждой из них отдельно. Затем найдите минимальное число, которое умещало бы в себе целое количество обоих периодов. Например, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое можно уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, искомый период – 2П.
  • Если вы затрудняетесь действовать предложенным образом или сомневаетесь в ответе, попытайтесь действовать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он больше нуля. Подставьте в уравнение вместо х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром или числом. В результате вы найдете значение тригонометрической функции и сможете подобрать минимальный период. Например, в результате упрощения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет ответ задачи.

completerepair.ru

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Основные понятия

Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.

Определение 1

Нечетная функция -- функция, которая меняет свое значение на противоположное при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

Определение 2

Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=f(x)\]

Определение 3

Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:

\[f\left(x\right)=f(x+T)\]

T -- период функции.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):

Рисунок 1.

Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.

Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Периодичность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).

Рисунок 2.

Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.

Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что

То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций

Пример 1

Доказать следующие утверждения:

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Решение.

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[tg{385}^0=tg{(360}^0+{25}^0)=tg{25}^0\]

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим

\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[sin{(-721}^0)=-sin{721}^0=-{sin \left({720}^0+1^0\right)\ }=-sin1^0\]

spravochnick.ru