Чётность и нечётность функций. Примеры четность функции


Чётность и нечётность функций

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Правило:

Если f({-x})=f(x), то функция четная.

Если f({-x})=-f(x), то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Алгоритм исследования:

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то  найти f({-x}) и сравнить с f(x)

Если f({-x})=f(x) то функция — четная.Если f({-x})=-f(x), то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

 

Примеры:

1. Определить, является ли четной функция: f(x)=x^4-6x^2+3.

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

f({-x})=({-x})^4-6({-x})^2+3= x^4-6x^2+3 =f(x) – функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

 

2. Определить, является ли четной функция: f(x)=sqrt{x^2+x+1}-sqrt{1-x+x^2}.

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.Теперь подставим вместо x – (-x): f({-x})=sqrt{({-x})^2-x+1}-sqrt{1+x+({-x})^2}= sqrt{x^2-x+1}-sqrt{1+x+x^2} =-( sqrt{x^2+x+1}-sqrt{1-x+x^2})=-f(x) – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

 

3. Определить, является ли четной функция: f(x)=lg{{x+1}/{1-x}}.

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

Таким образом, область определения симметрична,  и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=lg{{-x+1}/{1+x}}=lg{{1-x}/{1+x}} – исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

 

4. Определить, является ли четной функция: f(x)={x^4+1}/{3x^3}.

 

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f(x)={(-x)^4+1}/{-3x^3}=-{x^4+1}/{3x^3}=-f(x) – функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: f(x)=2/{delim{|}{x}{|}-3}+2.

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=2/{delim{|}{-x}{|}-3}+2=2/{delim{|}{x}{|}-3}+2 =f(x) – функция четная.

 

6. Определить, является ли четной функция: f(x)=sqrt{delim{|}{x}{|}}-4.

 

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})= sqrt{delim{|}{-x}{|}}-4= sqrt{delim{|}{x}{|}}-4=f(x) – функция четная.

 

7. Определить, является ли четной функция: f(x)=x^3-sin x.

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=-x^3-sin ({-x})= -x^3+sin x=-f(x) – функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Правило:

Сумма двух нечётных функций  –  нечётна.

Сумма двух чётных функций  –  чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

f({-x})=({-x})^3= -x^3=-f(x) – функция нечетная.

f({-x})=-sin ({-x})= sin x=-f(x) – функция нечетная.

 

8. Исследуем теперь такую функцию:

 

f(x)=sin x+ tg x

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции f(x)= tg x симметрична, функция нечётна, так как tg ({-x})=-tg x. Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

 

9. Наконец, последняя:

f(x)=(1-x^2)cos x – имеем произведение двух функций.

Правило:

Произведение или частное  двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

 

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Проверим?

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

f({-x})=(1-({-x})^2)cos (-x)=(1-x^2)cos x=f(x) – функция четная.

 

 

 

 

 

 

 

easy-physic.ru

Чётная функция - это... Что такое Чётная функция?

 Чётная функция

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x2 — пример чётной функции.

f(x) = x3, нечётная

f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Определения

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Чётное число
  • Чётность (математика)

Смотреть что такое "Чётная функция" в других словарях:

  • Нечётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • чётная функция — lyginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. even function vok. gerade Funktion, f rus. чётная функция, f pranc. fonction paire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • нечётная функция — nelyginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. odd function vok. ungerade Funktion, f rus. нечётная функция, f pranc. fonction impaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • нечётная функция — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN odd function …   Справочник технического переводчика

  • Нечётная функция —         функция, удовлетворяющая равенству f ( x) = f (x). См. Чётные и нечётные функции …   Большая советская энциклопедия

  • НЕЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • нечётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f(–х) =  f(х) при всех х. * * * НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Энциклопедический словарь

  • чётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f( х) = f(х) при всех х. * * * ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех x …   Энциклопедический словарь

  • Функция Доусона — вблизи начала координат …   Википедия

  • Функция Хевисайда — Единичная функция Хевисайда Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица)  кусочно постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице  для пол …   Википедия

dic.academic.ru

Чётность функции — WiKi

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn{\displaystyle f(x)=x^{n}} чётна когда n{\displaystyle n} чётно, и нечётна когда n{\displaystyle n} нечётно.

f(x)=x{\displaystyle f(x)=x} — пример нечётной функции. f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} — пример чётной функции. f(x)=x3,{\displaystyle f(x)=x^{3},} нечётная f(x)=x3+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+1} ни чётная, ни нечётная.
  • Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
  • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
  • Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида). В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X⊂R{\displaystyle X\subset \mathbb {R} } , например, отрезка или интервала.

  • Функция f:X→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }  называется чётной, если справедливо равенство
f(−x)=f(x),∀x∈X.{\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.} 
  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
f(−x)=−f(x),∀x∈X.{\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.} 
  • Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

ru-wiki.org

Четность функции - это... Что такое Четность функции?

 Четность функции

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x2 — пример чётной функции.

f(x) = x3, нечётная

f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Определения

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Четное число
  • Четные и нечетные функции

Смотреть что такое "Четность функции" в других словарях:

  • Четность и нечетность функции —  [odd and even  function]; четной функция называется тогда, когда   для любых двух различных значений ее аргумента    f ( x) =f(x) , например,  y= |x|;    нечетной — такая  функция , когда f( x) = — f(x), например, y= x2n+1,  где   n… …   Экономико-математический словарь

  • четность и нечетность функции — Четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f ( x) =f(x) , например, y= |x|; нечетной такая функция , когда f( x) = f(x), например, y= x2n+1, где  n любое натуральное число. Функции которые не являются ни …   Справочник технического переводчика

  • ЧЕТНОСТЬ — квантовое число, характеризующее симметрию волновой функции физической системы или элементарной частицы при некоторых дискретных преобразованиях: если при таком преобразовании ? не меняет знака, то четность положительна, если меняет, то четность… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ЧЕТНОСТЬ УРОВНЯ — чётность состояния физ. системы (чётность волн. ф ции), соответствующего данному уровню энергии. Такая хар ка уровней возможна для системы ч ц, между к рыми действуют эл. магн. или яд. силы, сохраняющие чётность. При учёте слабого взаимодействия… …   Физическая энциклопедия

  • Четность — Чётность в теории чисел способность целого числа делиться без остатка на 2. Чётность функции в математическом анализе определяет, изменяет ли функция знак при изменении знака аргумента: для чётной/нечётной функции. Чётность в квантовой механике… …   Википедия

  • Четность (математика) — Чётность в теории чисел способность целого числа делиться без остатка на 2. Чётность функции в математическом анализе определяет, изменяет ли функция знак при изменении знака аргумента: для чётной/нечётной функции. Чётность в квантовой механике… …   Википедия

  • ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x. Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А точка окружности с центром в… …   Математическая энциклопедия

  • ВНУТРЕННЯЯ ЧЕТНОСТЬ — (Р), одна из хар к (квант. чисел) элем. ч цы, определяющая поведение её волновой функции y при пространственной инверсии (зеркальном отражении), т. е. при замене координат х® х, y® у, z® z. Если при таком отражении y не меняет знака, В. ч. ч цы… …   Физическая энциклопедия

  • Зарядовая четность — Зарядовое сопряжение  операция замены частицы на античастицу (напр., электрон на позитрон). Зарядовая чётность Зарядовая чётность  квантовое число, определящее поведение волновой функции частицы при операции замены частицы на античастицу… …   Википедия

  • Циклическая проверка на четность — Алгоритм вычисления контрольной суммы (англ. Cyclic redundancy code, CRC  циклический избыточный код)  способ цифровой идентификации некоторой последовательности данных, который заключается в вычислении контрольного значения её циклического… …   Википедия

dic.academic.ru

Нечетная функция - это... Что такое Нечетная функция?

 Нечетная функция

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x2 — пример чётной функции.

f(x) = x3, нечётная

f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Определения

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Нечеткие множества
  • Нечетное число

Смотреть что такое "Нечетная функция" в других словарях:

  • НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Большой Энциклопедический словарь

  • нечетная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN odd function …   Справочник технического переводчика

  • НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного, т. е. функция, удовлетворяющая условию . График Н. ф. симметричен относительно начала координат …   Математическая энциклопедия

  • нечётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f(–х) =  f(х) при всех х. * * * НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Энциклопедический словарь

  • Единичная функция Хевисайда — Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения  специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов …   Википедия

  • Единичная Хевисайда — Единичная функция Хевисайда Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения  специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов …   Википедия

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — (обратный оператор) к однозначному отображению (оператору) однозначное отображение gтакое, что где нек рые множества. Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) левым обратным отображением к… …   Математическая энциклопедия

  • ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel).… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

Математика. Четность и нечетность функции. Примеры с решениями.

Функция  называется четной функцией, если для любого  из области определения выполняется равенство 

Функция  называется нечетной функцией, если для любого  из области определения выполняется равенство .

Если ни одно из условий  или  не выполняется, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)

График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:

  1.  Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
  2.  Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
  3.  Если функция  четная (нечетная), то и функция  четная (нечетная).

Пример

Задание Исследовать функцию  на четность, используя свойства четных и нечетных функций.
Решение Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:

  

то есть функция  четная; аналогично

  

а тогда и функция  четная.

По свойству 3, так как  — четная, то четной будет и функция . Тогда исходную функцию  можно представить в виде произведения четных функций , следовательно, по свойству 2,  — четная.

Ответ Исследованная функция четная.

multiurok.ru

Четность функции Википедия

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn{\displaystyle f(x)=x^{n}} чётна, когда n{\displaystyle n} чётно, и нечётна, когда n{\displaystyle n} нечётно.

f(x)=x{\displaystyle f(x)=x} — пример нечётной функции f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} — пример чётной функции f(x)=x3,{\displaystyle f(x)=x^{3},} нечётная f(x)=x3+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+1} ни чётная, ни нечётная
  • Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
  • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
  • Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида). В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Строгое определение

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X⊂R{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }, например, отрезка или интервала.

  • Функция f:X→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } называется чётной, если справедливо равенство
f(−x)=f(x),∀x∈X.{\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.}
  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
f(−x)=−f(x),∀x∈X.{\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.}
  • Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O{\displaystyle O}.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy{\displaystyle Oy}.
  • Произвольная функция f:[−X,X]⊂R→R{\displaystyle f:[-X,X]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} } может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x)=g(x)+h(x),{\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),} где g(x)=f(x)−f(−x)2,h(x)=f(x)+f(−x)2.{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}},\;h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.}
  • Функция f(x)≡0{\displaystyle f(x)\equiv 0} — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна. Поэтому чётные функции образуют линейное векторное пространство над полем действительных чисел, это же справедливо и для нечётных функций.
  • Произведение двух функций одной чётности чётно.
  • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
  • Композиция двух нечётных функций нечётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • Для определённых интегралов от чётных функций выполняется равенство
∫−AAf(x)dx=2∫0Af(x)dx=2∫−A0f(x)dx.{\displaystyle \int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.} Соответственно, для определённых интегралов от нечётных функций выполняется равенство ∫−AAf(x)dx=0.{\displaystyle \int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.}∫−∞∞f(x)dx=2∫0∞f(x)dx=2∫−∞0f(x)dx{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx} и от нечётных функций: v.p.∫−∞∞f(x)dx=0{\displaystyle \mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0} (v. p. обозначает главное значение несобственного интеграла по Коши).
  • Разложение в ряд Маклорена чётной функции содержит только члены с чётными степенями, а нечётной — только с нечётными.
  • Разложение в ряд Фурье периодической чётной функции содержит только члены с косинусами, а периодической нечётной — только с синусами.
  • Чётные функции образуют коммутативную алгебру над полем действительных чисел. Однако это неверно для нечётных функций, поскольку их множество незамкнуто относительно умножения (произведение двух нечётных функций является чётной функцией).

Примеры

Ниже везде x∈R.{\displaystyle x\in \mathbb {R} .}

Нечётные функции

  • Возведение в степень с нечётным целым показателем: f(x)=x2k+1,{\displaystyle f(x)=x^{2k+1},} где k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} } — произвольное целое число.
  • Сигнум: f(x)={  1,x>0  0,x=0−1,x<0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}}
  • Кубический корень y=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} и вообще корень любой положительной нечётной степени y=x2k+1,k∈N.{\displaystyle y={\sqrt[{2k+1}]{x}},\quad k\in \mathbb {N} .}
  • Тригонометрические функции: синус f(x)=sin⁡x,{\displaystyle f(x)=\sin x,} тангенс f(x)=tg⁡x,{\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x,} котангенс f(x)=ctg⁡x,{\displaystyle f(x)=\operatorname {ctg} x,} косеканс f(x)=cosec⁡x.{\displaystyle f(x)=\operatorname {cosec} x.}
  • Обратные тригонометрические функции: арксинус f(x)=arcsin⁡x,{\displaystyle f(x)=\arcsin x,} арктангенс f(x)=arctg⁡x,{\displaystyle f(x)=\operatorname {arctg} x,} арксеканс f(x)=arcsec⁡x,{\displaystyle f(x)=\operatorname {arcsec} x,} арккосеканс f(x)=arccosec⁡x.{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccosec} x.}
  • Гиперболические функции: гиперболический синус, гиперболический косеканс.
  • Обратные гиперболические функции: ареасинус, ареатангенс, ареакосеканс.
  • Специальные и обобщённые функции:

Чётные функции

Литература

wikiredia.ru